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zweier Elemente Vorkommen, und jede derselben nur ein einziges Mal; 
die Zahl solcher Elemente sei notwendig von der Form 6 n -f- 3. Diese 
Bemerkung ist nicht ganz richtig; es geht auch bei 6w + 1 Elementen; 
z. B. bei 7 Elementen erhält man 123, 145, 167, 246, 257, 347, 356. 
Nun wollte PI Ücker noch analytisch beweisen, dafs es mehr als 
einen realen Wendepunkt geben mufs. Er sagt darüber: ,, Die imaginären 
Wendungspunkte sind in gerader Zahl vorhanden und gehören paarweise 
so zusammen, dafs eine reale Gerade durch die beiden Punkte jeden 
Paares geht und die Kurve aufserdem noch in einem realen Punkte 
schneidet. Es gibt hiernach doppelt so viele imaginäre als reale Wendungs- 
punkte/ 1 Der erste dieser Sätze ist zweifellos richtig, da die Wendepunkte 
die Schnittpunkte zweier realer Kurven III. Ordnung sind. Das „hiernach“ 
des zweiten Satzes ist aber am unrichtigen Platze, denn dieser Satz bedarf 
des Beweises. Das hat auch PI Ücker empfunden, denn er fährt fort: 
„Denn da in der Gleichung 6) die (reellen) Funktionen p, q und r beliebig 
miteinander vertauscht werden können, so stehen die reellen Wendungs- 
punkte alle drei in derselben Beziehung zur Kurve, und offenbar kann 
nicht einer derselben mit mehr Paaren imaginärer Wendungspunkte in 
gerader Linie liegen, als ein anderer“. Diese Bemerkung durfte aber an 
dieser Stelle nicht gemacht werden, wo es ja eben darauf ankam, zu be- 
weisen, dafs nicht blos ein realer Wendepunkt vorhanden ist; läfst man 
aber das von Plücker eingeklammerte Wort reellen hinweg, so kann auf 
die rein formale Vertauschbarkeit der Faktoren _p, q und r natürlich 
keine Aussage über die Realität der Wendepunktsgeraden begründet werden. 
Der vierte Teil des Plücker sehen unmittelbaren Beweises lautet: 
„Es sind hiernach nur noch zwei Fälle möglich: entweder hat die Kurve 
III. Ordnung einen reellen und zwei imaginäre, oder drei reelle und sechs 
imaginäre Wendungspunkte. Weil augenfällig die Gleichung des dritten 
Grades nicht auf blofs einzige Art die Form 6) annehmen kann, so ist der 
zweite Fall allein statthaft.“ Da über die Realität der Funktionen pqr 
und s gar nichts ausgesagt werden kann, so kann auch aus der Möglich- 
keit, die Form 6) in mehrfacher Weise herzustellen, kein Schlufs auf die 
Realität der Wendepunkte und der Wendepunktsgeraden gezogen werden. 
In einer Randbemerkung zu Nr. 323 wird noch gesagt: „Es können 
nicht neun Wendungspunkte und unter diesen vier Paare imaginärer vor- 
handen sein. Dann müfste nämlich der einzige reelle Wendungspunkt mit 
diesen vier Paaren auf vier verschiedenen geraden Linien liegen und sonst 
in keiner (geradlinigen) Kombination mehr Vorkommen. Die Anzahl der 
imaginären Wendungspunkte müfste also ebenfalls von der Form 6w + 3 
sein“. Dies ist aber in doppelter Beziehung unzutreffend; erstens müfste 
es heifsen 6 w -f- 3 oder 6 n -j- 1 ; und zweitens ist die ganze Schlufs- 
weise nicht richtig, denn jeder reale und irreale Wendepunkt liegt tat- 
sächlich mit den vier Paar übrigen Wendepunkten auf vier Geraden, ohne 
dafs daraus ein Schlufs auf die Zahlen 6^ + 3 oder 6 n + 1 gemacht 
werden könnte. 
Hieraus ergibt sich, dafs der unmittelbare, in Nr. 323 gegebene Be- 
weis des Plückerschen Satzes kraftlos ist. 
Auf die von Plücker entdeckte Figur der 12 Wendepunktsgeraden, 
sowie auf die wissenschaftlichen Hilfsmittel, die wir Möbius’ im Jahre 
1827 erschienenen barycentrischen Calcül, sowie Steiners 1832 er- 
schienenen systematischen Entwicklungen verdanken, unter Aussclilufs 
