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aber der erst im Jahre 1862 von Cremona entdeckten äquianharmo- 
nischen Eigenschaften der Wendepunktsfigur, läfst sich beweisen, dafs eine 
Kurve III. Ordnung nicht mehr als drei reale Wendepunkte haben kann. 
Dies gibt in Verbindung mit Plückers geometrischem Beweise für das 
Vorhandensein dreier realer Wendepunkte einen zweiten allgemeinen 
Beweis des Plück er sehen Satzes. 
Sind P, Q, R drei Wendepunkte auf einer Geraden, P 1 P 2 Wende- 
punkte auf einer Geraden des P, Q 1 Q 2 Wendepunkte auf einer Geraden 
des Q, und ist P 1 der dritte auf P 1 Q 1 enthaltene Wendepunkt, so 
schneiden sich die Geraden R P 1 und P 2 Q 2 auf der Kurve, und zwar in 
ihrem neunten Wendepunkte P 2 . Die Gerade P Q x enthält noch einen 
Wendepunkt; da dies weder P v noch P 2 oder Q, Q 2 , R , R 1 sein können, 
so mufs es P 2 sein. Ebenso ergeben sich die Geraden PQ 2 R V P X QR 2 , 
P t Q 2 R, P 2 Q R v P 2 Q ± P. Schreibt man die Wendepunkte in dieser An- 
ordnung auf, 
P 
7 ) 
p a 
p. a 
xrxx r 
* % 
Q. 
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so verbinden die drei wagerechten, die drei senkrechten, sowie die sechs 
schrägen Linien immer je drei Wendepunkte, die auf einer Geraden liegen. 
Wie die Zusammenstellung sofort zeigt, werden die Punktreihen PR 
und P 2 Q 2 von P x aus auf einan- 
der abgebildet, und zwar sind 
P 2 und Q 2 die Bilder von Pund 
P; ferner ist P 0 das Bild von 
Q und die drei Geraden PR 
P 2 Q , PQ 2 müssen einen gemein- 
samen Punkt haben, nämlich R v 
Es fragt sich nun, ob und wie 
man Q auf PP so wählen kann, 
dafs PP 2 und P 2 Q sich auf PQ 2 
schneiden. V erschiebt man Q ent- 
lang P P, so beschreibt das Bild 
P 2 eine Reihe, die zu der von Q 
beschriebenen perspektiv ist, und 
die Strahlen P 2 Q und P P 2 er- 
zeugen einen Kegelschnitt P, der 
P P ± und P 2 P 1 in P und P 2 
berührt und den Schnittpunkt S 
von P P und P 2 Q 2 enthält, wo- 
durch er eindeutig bestimmt ist. 
Hieraus folgt, dafs R ± ein Schnitt- 
punkt von K mit P Q 2 sein mufs. 
kür das Achsendreieck P P 1 P 2 hat K eine Gleichung von der Form 
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/7 /y» 
tA/j \Aj (/yg iX/g 
= o. 
