34 
wobei X^ Xq die Punktabstände von R P 2 , R P x und P 2 P ± sind. Hat 
P Q 2 die Gleichung 
9) x x — m x 2 — n x ?i = 0, 
so ist für P 
10) x 1 :x 2 = m, 
und für Q 2 
11) x ± : x 3 = n. 
Da S auf P 2 Q 2 und R P liegt, so gelten für die Koordinaten von S 
die Verhältnisse 10) und 11; da S ferner auf K enthalten ist, so kann 
man 10) und 11) in 8) einführen, und erhält daraus 
H 
12) 1 — j= 0, a = m n. 
m n 
Entfernt man x ± aus 8) und 9), so folgt 
m 2 x\ -j- (2 m n — a) x 2 x, + n~ x\ — 0, 
oder mit Rücksicht auf 12) 
m 2 x\ -f- m n x 2 x s -f- n 1 x\ = 0. 
Die Diskriminante dieser Gleichung ist 
m 2 n 2 — 4 m 2 ri 1 — — 3 m 2 n 2 , 
die Gleichung hat also unter allen Umständen irreale Wurzeln. 
Hiermit ist bewiesen, dafs eine Kurve III. Ordnung nicht mehr als 
drei reale Wendepunkte haben kann. 
Zehn Jahre nach dem Erscheinen von Plückers ,, System“ veröffentlichte 
Hesse im 28. Bande von Crelles Journal die erste seiner berühmten 
Abhandlungen über die Wendepunkte der Kurve III. Ordnung. Einige 
Jahre später erschienen weitere Abhandlungen im 36. und 38. Bande. 
Durch diese klassischen Arbeiten wurde die Lehre von den Wendepunkten 
wesentlich gefördert, auf die Frage nach der Realität der Wendepunkte 
geht aber Hesse an diesen Stellen nicht ein. In seinem weitverbreiteten 
Buche Ebene Kurven III. Ordnung, das 1871 erschien, gibt Durege 
(in Nr. 354) den Inhalt der Hesseschen Arbeit aus Crelle Bd. 38 im wesent- 
lichen wieder. Von der Möglichkeit, einer homogenen ternären kubischen 
Funktion die Gestalt zu geben 
.4 3 + P 3 + C 3 + kAB C, 
wobei A, P, C homogen linear sind, wird dabei ausgegangen; ohne die 
Frage zu berühren, ob diese Umgestaltung immer auf ein reales Dreieck 
A = 0, B = 0, C=0 führt, werden diese Geraden ohne weiteres als 
Achsen einer Koordinatenbestimmung verwendet; dann findet sich freilich 
leicht, dafs drei Wendepunkte real, die andern irreal sind, aber diese 
Schlufsweise ist leider ein logisches Schulbeispiel der Petitio principii. 
Damit fällt natürlich auch Dur ege s Beweis für die Realität von vier 
W endepunktsgeraden. 
Im Jahre 1862 gab Cremona in seiner ,,Introduzione ad una teoria 
geometrica delle curve piane“ (gelesen in der Akademie der Wissenschaften 
zu Bologna am 19. Dezember 1861, veröffentlicht am 10. Oktober 1862 im 
12. Bande der Abhandlungen der genannten Akademie) den neuen Begriff 
der äquianharmonischen Gruppe und wies Aquianharmonien an der Figur 
