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der Wendepunkte der Kurven III. Ordnung nach. Auf diese Eigenschaften 
begründet er einen Beweis für den Plück er sehen Wendepunktssatz. 
Ausgehend von der gesicherten Erkenntnis, dafs es immer einen 
realen Wendepunkt i geben mufs, weist er nach, dafs zu diesem eine reale 
Wendepolare I gehört, die dieselbe für alle Glieder des durch die Wende- 
punkte der gegebenen Kurve III. Ordnung bestimmten syzygetischen 
Büschels ist. Von den Gliedern dieses Büschels wird I in den Drei- 
punktsgruppen einer kubischen Involution geschnitten. An vier Stellen 
r r 2 r 3 von I fallen zwei Punkte einer gewissen Dreipunktsgruppe zu- 
sammen; dies sind Scheitel je eines der vier Wendepunktsdreiseite, der 
Glieder des Büschels, die in Dreiseite zerfallen. 
Es wird nun nachgewiesen, dafs jede der 12 Gruppen r r 1 r 2 r 3 äquian- 
harmonisch ist (Nr. 144). Cremona fährt hierauf fort: „Ne consegue che, 
se i e un flesso reale delle cubiche sizigetiche, due de quattro vertici 
r giacenti nella polare armonica I sono reali, gli altri due imaginari (26).“ 
Die Nr. 26, auf die hier zurückverwiesen wird, enthält mit der folgenden 
zusammen alles, was Cremona über die Aquianharmonie von Vierpunkts - 
gruppen mitteilt. Über ihre Realität bemerkt er, dafs, wenn ab cd' und 
ab cd" äquianharmonisch sind, also 
(i abcd') = s ', (abcd")= 
wobei 8 ' und s" die konjugiert komplexen Kubikwurzeln der negativen 
Einheit bezeichnen, zu drei realen Punkten abc konjugiert komplexe d' 
und d " gehören; sind dagegen zwei von den drei Punkten abc konjugiert 
komplex, so behauptet Cremona, dafs d' und d " real sind. Die letzte 
Bemerkung ist bereits von Clebsch (Vorlesungen über Geometrie, 1. Aufl. 
1876, S. 41) richtig gestellt worden; sind von abcd' zwei Punkte konju- 
giert komplex, so können die andern beiden real sein, im allgemeinen 
aber sind sie komplex. Man kann über die Realität von vier äquianhar- 
monischen Punkten nicht mehr aussagen, als dafs nicht alle vier real sein 
können; zu drei beliebigen realen oder irrealen Punkten ergibt sich im 
allgemeinen ein vierter irrealer Punkt. Irgend ein Zusammenhang zwischen 
der Realität eines Wendepunkts i und der Realität der auf der zugehörigen 
Wendepolare /gelegenen Ecken rr 1 r 2 r 3 der vier Wendepunktsdreiseite wird 
von Cremona nicht nachgewiesen. Auch die Gleichung (rw ) 8 -f- 8 h 3 = 0, 
deren Wurzeln die Strecken rr v rr 2 und rr 3 sind, gestattet keinen solchen 
Schlufs, weil über die Realität von r und h bis zu der Stelle, wo diese 
Gleichung auftritt und weiter verwendet wird, nichts ausgesagt worden 
ist, also mit der Möglichkeit irrealer Werte für r und h gerechnet werden 
mufs. Cremonas Beweis des Plücker sehen Wendepunktssatzes ist daher 
ungültig. 
Dasselbe gilt aus ganz demselben Grunde für den Beweis, den 
Schröter in seiner Theorie der ebenen Kurven III. Ordnung (1888, S. 236) 
gegeben hat. 
Clebsch geht bei seinem Beweise (Vorlesungen über Geometrie, 1. Aufl.) 
davon aus, dafs eine Gerade t , die eine irrationale Kurve III. Ordnung in einem 
realen gewöhnlichen Punkte berührt und daher mit derselben noch einen realen 
Punkt A gemein hat, sich um A so drehen läfst, dafs sie in eine neue 
Lage t 1 kommt, wo sie aufser A keinen realen Punkt mit der Kurve gemein 
hat. Erzeugt man von der Figur ein Mitten bild, bei dem t 1 als unendlich 
ferne Gerade abgebildet wird, so hat das Bild C f der gegebenen Kurve C 
