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nur eine reale Asymptote, nämlich das Bild u' der Geraden u, die C in 
A berührt. Die Kurve C f hat daher einen Zug, der von einem gewissen 
realen Punkte der Geraden u f aus nach beiden Seiten hin sich entlang 
dieser Geraden ins Unendliche erstreckt. Hieraus folgt, dafs dieser Zug 
wenigstens drei reale Wendepunkte haben mufs. 
Aufser diesem Zuge hat C noch einen ganz im Endlichen liegendes 
Oval, das aber auch irreal sein kann. Da, wie schon bemerkt, Wende- 
punkte bei Mittenabbildung erhalten bleiben, so ist damit bewiesen, dafs 
jede Kurve III. Ordnung wenigstens drei reale Wendepunkte haben mufs. 
Den Beweis dafür, dafs nicht mehr als drei reale Wendepunkte möglich 
sind, führt C leb sch mit Hilfe der äquianharmonischen Eigenschaften der 
Wendepunktsfigur. Sind die vier Wendepunkte PQRP 1 real, so müssen 
auch P 2 , Q 2 und P 2 , sowie ferner Q 1 und R v also alle Wendepunkte und 
damit auch die 12 Wendepunktsgeraden, real sein. Sind nun S' und S" 
die Schnittpunkte der Wendepunktsgeraden PQR mit P 2 Q 2 R 2 und 
P 1 Q 1 R 1 , so erkennt man aus der Übersicht der Wendepunktsgeraden 
^Nr. 7), dafs die beiden Perspektiven Büschel 
P 2 (P, Q t R, S") und Q 2 (P, Q x R l S") 
die Wendepunktsgerade 8 f S " in den Punktgruppen 
PRQS " und R Q PS" 
schneiden. 
Man schliefst hieraus die Gleichheit der Doppelverhältnisse 
(S" PQR)= (S" Q R P), 
woraus folgt, dafs S" P Q R (und in gleicherweise S' P Q R) äqui an har- 
monisch sind. Hieraus folgt weiter, dafs nicht alle vier Punkte real sein 
können. Mithin können nicht mehr als drei Wendepunkte real sein. 
Die geometrischen Betrachtungen in den ersten Teilen der von 
Plücker und von Clebsch gegebenen Beweise können vermieden werden, 
wenn man folgenden Weg einschlägt. 
Wir beziehen die Gleichung der Kurve III. Ordnung auf ein Dreieck 
A x A 2 A s , in dem A s ein realer Wendepunkt, A ± A 2 die zugehörigen Wende- 
polare, A s A 2 Wendetangente und A 1 ein realer Punkt der Kurve ist, diese 
mithin in A 1 von A ± A s berührt wird. Die Kurvengleichung hat alsdann 
die Form 
F — — : 3 (Xn2 x± 0C2 -j - 3 0^22 X\ X2 — j~ 3^133 X\ — (- 0^222 X2 :==z 0. 
1 
6 
1 
6 
Hieraus folgt 
d 2 F 
— 2 »112 % 2 , 
0 X\ 
d 2 F 
d x\ 
»112 X\ + O 122 aq, 
1 d 2 F 
6 dxi dx 2 
1 d 2 F 
= »112 X\ -|- »122 % 2 , 
— 0 , 
1 d 2 F 
6 dxi dx-i 
1 ö 2 F 
6 dx 2 dx 3 
Die Hessesche Kurve hat daher die Gleichung 
»112 %2i »112 Xi -f- 22 #2> »133 X 3 
»112 -j- »122 X 2 -, »122 X\ -f“ »222 ^2? 0 
»133 X 3 , 0 »133 
6 
dx\ 
. 2 3 
— »112 X\ 
»133 X 3 , 
»133 Xi . 
»112 »122 Xi X 2 -f“ (»112 »122 »122) Xi X 2 »133 »122 X\ X 3 
»133 »222 X 2 X 3 — O. 
