VII. Zur Erzeugung rationaler ebener Linien 3. Ordnung. 
Von 11. Heger. 
Bezeichnen x, y rechtwinklige Punktkoordinaten, X einen Perameter, 
ferner A, B, C, D, E ganze Funktionen ersten Grades von x, y, so wird 
durch die beiden Gleichungen 
1) A + B • X = 0, 
2) C J r 2D-X-\-E‘X‘ 2 = 0 
bekanntlich eine rationale Linie 3. Ordnung dargestellt, deren Doppelpunkt 
A=B = 0 ist. Die Geraden 1) sind ein Strahlbüschel, die 2) setzen 
einen quadratischen Strahlverein zusammen, der von dem Kegelschnitte 
3) K = CE — D 2 = 0 
getragen wird. Die Gerade 2) verbindet den Punkt 
4) C= 0, 2D + E-l = 0 
mit dem Punkte 
5) C- ±2D-l = 0, E= 0. 
Die so erzeugten Punktreihen sind mit dem Büschel 1) projektiv. Da man 
diese Schlüsse auch umkehren darf, so hat man den Satz: Sind ein Strahl- 
büschel und zwei Punktgerade projektiv, so ist der Ort der Punkte, in 
denen ein Strahl des Büschels die Gerade der beiden entsprechenden 
Punkte der beiden Punktgeraden schneidet, eine bestimmte rationale Linie 
3. Ordnung. 
Diesen Satz kann man, je nachdem K eine Parabel oder ein anderer 
Kegelschnitt ist, auch so fassen: Bewegt sich ein beständiger Winkel 
so, dafs ein Schenkel sich um einen festen Punkt dreht, während 
der Scheitel P eine gerade Punktreihe durchläuft, so erzeugt der 
Schnittpunkt des anderen Schenkels mit dem entsprechenden 
Strahle eines der Reihe der P projektiven Strahlbüschels eine 
rationale Linie 3. Ordnung, die den Träger des Büschels zum 
Doppelpunkte hat. Bewegt sich ein beständiger Winkel so, dafs 
ein Schenkel sich um einen festen Punkt dreht, während der 
Scheitel einen festen Kreis durchläuft, so erzeugt der Schnitt 
des anderen Schenkels s mit dem Strahle eines Büschels, das der 
Reihe der Spuren des s auf irgend einer Sonderlage von s pro- 
jektiv ist, eine bestimmte rationale Linie 3. Ordnung, die den 
Träger des Büschels zum Doppelpunkte hat. 
