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(3) . . . . (t^xY ~ 0 {tY (mod M) 
worin {t) eine rationale Function von t ist, deren Coefficienten 
cyklische Functionen von x^^ . Xn~\ sind. 
Adjungieren wir nun die cyklischen Functionen dem Ratio- 
nalitätsbereich, und setzen in (3) für t irgend eine wte Einheits- 
wurzel, wodurch die Congruenz in eine Gleichung übergeht, so 
kann die nie Wurzel ausgezogen werden und es lassen sich alle 
Grössen (a, x) und also auch Xq selbst rational durch wte Ein- 
heitswurzeln ausdrücken. 
Die wten Einheitswurzeln genügen aber einer rationalen 
Gleichung vom Grade n—\ und es würde daher auch x^ (nach 
Adjunction der cyklischen Functionen) einer Gleichung von 
niedrigerem als dem taten Grade genügen, d. h. f{x) würde 
durch diese Adjunction reducibel werden, was dem in § 1 an- 
geführten Galois’schen Satze widerspricht. 
Daher sind die Functionen fn --2 m o d u 1 o 
M in con gruent. 
§ 5 . 
Wir wenden nun den Satz II § 3, wonach eine cyklische 
Function der Grössen fo? A» A -2 einer von t unabhängigen 
rationalen Grösse congruent ist, auf das Product 
(s—f«) (s— A) • • {s—fn-ä). = n (s—ß. 
an, worin s eine unbestimmte Variable bedeutet, oder vielmehr 
auf die Coefficienten der einzelnen Potenzen von s in der Ent- 
wicklung dieses Products. Es ergiebt sich so 
(1) 77 (s—ft) = !/;(§) = -f- «g + • • + ccn~z (mod M) 
worin die Coefficienten «g» • *5 Grössen des Rationalitäts- 
bereiches sind. 
Die Function zerlegen wir in ihre linearen Factoren 
(2) ... I// (s) — (5— Ä^o) (5— . . {s—kk- 2 ), 
so dass die Jcq, . ., kn -2 Wurzeln einer ratipnalep Gleichung 
n — 1 ten Grades sind. Jede symmetrische Function der Grössen 
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