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so kann («, \p(y)) nicht identisch für alle a verschwinden, und 
man hat dann, damit die sämmtlichen («, ip{y)) von Null ver- 
schieden, und die \fj [y^ von einander verschieden ausfallen, die 
ai rational so zu wählen, dass sie einer endlichen Anzahl line- 
arer Gleichungen nicht genügen. Dies aber ist stets möglich. 
§ 8 . 
Durch die Formel (3) des § 6 ist nun die Aufgabe, alle 
algebraisch lösbaren Gleichungen von Primzahlgrad zu finden, 
zwar noch nicht vollständig gelöst, aber auf die andere zurück- 
geführt , die Wurzeln Abelscher Gleichungen vom Grade n — 1 
zu finden. Diese letztere Aufgabe soll hier nun noch für den 
Fall fi—b durchgeführt und dadurch alle auflösbaren Gleichungen 
5ten Grades bestimmt werden. 
Es sind also zunächst die vier Grössen ä^o, k^ von 
einander verschieden so zu bestimmen , dass ihre cyk- 
lischen Functionen dem Rationalitätsbereich angehören. Wir 
machen dabei über den Rationalitätsbereich vorläufig noch gar 
keine specielle Voraussetzung. Als Grundlage dient uns dabei 
die Function 
( 1 ) = (^0 ^^ 2 ) (^1 ^ 3 ) 
die nicht Null ist, und durch die cyklische Vertauschung 
(0, 1, 2, 3) ihr Zeichen ändert. Ihr Quadrat ist also gleich 
einer rationalen Grösse, die wir mit 16c bezeichnen; also 
( 2 ) w — 4c\/c. 
Nun sind die beiden Functionen (ä^o — ^^ 2)^ + (^1 — ^3)^ 
{(ko — ^2)^ — (^1 — ^3)^) • ^ cyklische Functionen rational, und 
wenn also a, h rationale Grössen sind, so ergiebt sich 
( 3 ) (K—hY + (h—hY = 85 , 
{]c,-lc,Y-gc,-hY = 8aK/c, 
und zwischen a, b, c erhält man noch die Relation 
(4) 52 = c(l+a2). 
