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Aus den Gleichungen (7) kann man mit Hilfe von (4) eine 
der Grössen &, c eliminieren , wenn nicht & = 0 ist. Für 
diesen Fall muss aber a — sein; er kann also nur dann 
eintreten, wenn i zum Eationalitätsbereich gehört. 
Lassen wir diesen Fall beiseite, so können wir, wenn’A eine 
rationale Grösse ist, nach (4) setzen 
(11) . . . 5 = A(l-f-a2), c ~ {I a^) 
und die Ausdrücke (7) erhalten die Gestalt (wenn m an die 
Stelle von mh gesetzt wird) 
Tcq = n m \/ \ ~\- \/h cf' ^ l-\- 
(12) ^ 1 + 4- (1 + — aV\-{-a^) 
— \/A(l+ — a V l a^) 
h^ — n-\-m Vl + — \/h(\ -\- — a V\-\-a ^) • 
Abel giebt in der oben erwähnten Stelle diesen Ausdrücken 
eine etwas andere Form ; dem ersten z. B. 
Diese Form geht aus (12) hervor, wenn man a — — setzt und 
dann h und m durch he^ und me ersetzt. Die Abel’sche Form 
ist also nicht herstellbar in dem besonderen Fall a~ 0, der in 
den Formeln (12) auch enthalten ist, in dem freilich die biqua- 
dratische Gleichung in zwei quadratische zerfällt. 
Setzen wir diese Ausdrücke in § 5 (3) ein, und nehmen die 
Summe, so erhalten wir den allgemeinsten Ausdruck für die 
Lösung einer algebraisch lösbaren Gleichung 5ten Grades. Wir 
können g~2 annehmen und die Exponenten der fünften Wurzeln 
auf ihre Reste nach dem Modul 5 reducieren. 
(13) = A + VK 
und die übrigen Wurzeln erhält man daraus, indem man die 
5ten Wurzeln auf alle möglichen Arten bestimmt. A ist 
eine rationale Grösse und eine rationale Function dritten 
Grades von Jc^,, 
