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Nach § 1 c) ist 
(6) 71 ^ n = rjY, n — ( — t, 9^)^, = ( — 1 , 
und unser Ziel ist erreicht, wenn wir die ganzen Zahlen f, 1;, f 
so bestimmen können, dass 
wird. Dies fordert aber, dass 
also 
und hierin lässt sich ^ immer so bestimmen, dass die ganzen 
Zahlen linker Hand gerade Zahlen werden. Da nun auch 
( — 1, Xq) als Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl durch 
Einheitswurzeln ausdrückbar ist, so ist damit auch hier der 
Satz allgemein bewiesen: 
Alle Wurzeln biquadratischer Abel’scher 
Gleichungen sind Kreistheilungszahlen. 
§ 4. 
Wir wollen nun, auf diese Sätze gestözt, zeigen, wie man 
alle cubischen und biquadratischen Abel’schen Zahlkörper finden 
kann. Da man beliebig viele Einheitswurzeln immer als Potenzen 
von einer einzigen darstellen kann, so brauchen wir nur die 
Functionen einer Einheitswurzel r vom Grade n zu betrachten. 
Soll eine Kreistheilungszahl 
(1) (o — F(r) 
einer cubischen Gleichung genügen, so darf sie durch die Sub- 
stitutionen der Gruppe vom Grade m = (p{n), die wir oben 
(§ 1) mit S bezeichnet haben, nur drei Werthe annehmen. Wir 
müssen also Theiler Ä von S aufsuchen, die nur den dritten 
