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Theil aller Zahlen s umfassen, oder deren Index = 3 ist. 
Dabei ist aber noch zu beachten, dass solche Zahlen cö auszu- 
scheiden sind, die sich durch Einheitswurzeln niedrigerer Grade 
ausdrücken lassen, damit wir jeden der gesuchten Körper nur 
einmal, und auf die einfachste Weise dargestellt, erhalten. 
Ist A ein Theiler von S vom Index 3, h eine nicht in A 
enthaltene Zahl von S, so ist auch nicht in A enthalten, da 
sonst die Gruppe A hA^ deren Grad kein Theiler von m 
ist, in S enthalten wäre, was nicht möglich ist. ' 
Dagegen muss der Cubus einer jeden Zahl s in 
A enthalten sein und es kann die Gruppe S dar- 
gestellt werden durch 
(2) S = A h A -\~ A 
Um nun zu erkennen, welche Fälle wir auszuscheiden haben, 
bemerken wir folgendes: ist B eine in A enthaltene Gruppe 
und 0 * eine zu JB gehörige Function von r, d. h. eine Function, 
die durch die Substitutionen von B ungeändert bleibt, dagegen 
durch die übrigen Substitutionen von S sich ändert, so kann w 
rational durch o* ausgedrückt werden (nach bekannten allge- 
meinen Sätzen). Es sei nun eine in n aufgehende Primzahl und 
n = n\ 
so dass q nicht mehr in n aufgeht. Wir betrachten die Gruppe 
die aus den Zahlen h von S besteht, die der Congruenz 
genügen 
(3) 1 = 1 (mod n) 
und zu der die Function a = d. h. eine primitive ^'te Ein- 
heitswurzel gehört. Setzen wir c — q~^ (q — 1), so besteht nach 
dem Fermat’schen Satze bekanntlich für jede Zahl 5, also auch 
für jede Zahl 6 die Congruenz 
1^ = 1 (mod 
also auch wegen (3) 
= 1 (mod n). 
Es ist also in A enthalten. Andererseits ist auch in 
A enthalten, und wenn also c nicht durch 3 theilbar ist, so folgt 
