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Bezeichnen wir mit «i, «g? • ♦, «v die Indices einer Zahl a der 
Gruppe so können diese Grössen um Vielfache von 3 ver- 
ändert werden, ohne dass sie aufhören die Indices von Zahlen 
in A zu sein. Sind «•', . . . Indices von Zahlen in J., so 
sind es auch für jedes System der Zahlen X 
(10) . . . , Xct^ ~(- X “f- X €t^ -}- . . 
Nehmen wir also v solcher Systeme an, so muss die 
Determinante 
j ? 2 ’ ? y 
= 0 (mod 3) 
sein, da sonst in der Form (10) alle Systeme Xy 
erhalten werden könnten, also A mit S identisch wäre. 
Daraus aber folgt, dass sich ein System von Zahlen, 
mg, . ., m^, die nicht alle durch 3 theilbar sind, so bestimmen 
lässt, dass alle, und nur die x zu den a gehören, für welche 
die Congruenz besteht 
(11) . m^ + mg iTg + • ‘ + = 0 (mod 3). 
Dies ist der dritte Theil aller vorhandenen Systeme x^ 
während für die übrigen die Summe = 1 oder = 2 wird. Um- 
gekehrt bilden auch alle Zahlen s, deren Indices einer Congruenz 
der Form (11) genügen, eine Gruppe A, 
Wir können aber noch den Fall ausschliessen , dass unter 
Zahlen m^, mg, . ., m^ eine durch 3 theilbar ist. Denn ist z. B. 
mi = 0 (mod 3), so ist die Gruppe jB, die durch die Congruenz 
(12) h=\ ^mod ^ 
bestimmt ist, und zu der eine Einheits.wurzel von der Ordnung 
n\q^ gehört, deren Indices 
iTg = 0, iTg = 0, . . , Xy = 0 
sind, ganz in A enthalten, woraus man wie oben schliesst. Da 
man also in der Congruenz (11) hiernach m^ = 1 annehmen 
