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kann und für die übrigen m die Werthe + 1 übrig bleiben, so 
ist 2*'-! die Anzahl aller aus S zu bildenden Gruppen A. 
Die auf diese Weise gebildeten Functionen w sind nicht 
durch Einheits wurzeln niedrigerer Ordnung dar- 
stellbar. 
Um dies einzusehen, bemerken wir Folgendes: 
Ist Q eine Einheitswurzel beliebiger Ordnung m und sind 
m = iiv — fl V zwei Zerlegungen von m in Factoren , so folgt, 
dass eine Zahl, die rational durch und darstellbar ist, 
auch rational durch g^ dargestellt werden kann, wenn ]i das 
kleinste gemeinschaftliche Vielfache von fi und fi ist. Denn ist 
SO ist 
fin = 2 t// 
0 , fi'~i 
oc 
und man kann also, da immer gleich Null ist, wenn 
nicht hfl durch fi theilbar ist, so darstellen, dass nur solche 
Potenzen von g darin Vorkommen, deren Exponenten durch fi 
sowohl als durch fi theilbar sind. 
Ist nun 
w = JP(r) = /■(/), 
WO r eine Einheitswurzel von niedrigerem Grade als r ist, so 
können wir r und r beide als Potenzen einer und derselben 
Einheitswurzel g darstellen, etwa 
r=g^, r=gf^\ {fi > fi), 
und folglich kann F(r) rational dargestellt werden durch eine 
Potenz von r, deren Exponent ein von 1 verschiedener Theiler 
von n ist. Nehmen wir an, es sei darstellbar durch so 
müsste die ganze Gruppe B 
6=1 
in 4 enthalten sein. Zu B gehört aber die Zahl s, deren 
