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Indices % = + l, a? 2 == 0 , . x^==0 sind, die, wenn in (6) 
= 1 ist 5 nicht zu Ä gehört. 
Setzen wir nun 
(13) . . (Oq = (o^ — 2 r'*“ (102 = 2 r*”®, 
worin sich die Summen auf alle Zahlen der Gruppe Ä er- 
strecken, so sind diese drei Summen von einander verschieden 
und sind daher die Wurzeln einer cubischen Gleichung, durch 
die alle anderen zu Ä gehörigen Zahlen rational darstellbar 
sind. Um dies einzusehen, setzen wir 
(14) 
worin . ., r, primitive Wurzeln der Grade q^ sind 
und bezeichnen mit q eine imaginäre dritte Einheitswurzel. Es 
ist dann 
W X\ Xy 
(15) ft?o -|- (> (»1 + «2 == "‘ä "^2+ • • + "»y ^2?» . . 
wenn für die Indices von h und die Summe 2 m* Xi bezw. 
= 1 und = 2 (mod 3) wird, und diese Summe lässt sich zerlegen 
in das Product 
Xi X^ xV 
( 16 ) . . . ^^2 ^”*2 ^2 o’^VXp 
dessen Factoren bekanntlich alle von Null verschieden sind. Es 
verschwindet also ®o + laicht und daher können 
auch «oj nicht einander gleich sein. 
Die Zerlegung (16) gilt auch noch für ^ = 1, und daraus 
schliesst man, dass ft?o + ®i+ entweder = 0 oder == ( — 1)*' 
ist, je nachdem 9 unter den Factoren von n vorkommt oder nicht. 
Jede andere zu Ä gehörige Zahl kann linear ausgedrückt 
werden durch coq und «J, und da cö^, co^ auch zu diesen Zahlen 
gehören, so kann man jede Zahl « in die Form setzen 
(17) . . . (0 — Ä Aq (Oq A l (Ol -]r A 2 
wo A, Aq, Al, A 2 rationale Zahlen sind. Von den vier Gliedern 
dieses Ausdrucks kann noch eines mittels der Relation 
(18) . . . . o)q — {- (Ol “j- (O 2 = 0, ~l~ 1 
fortgeschaft werden. 
