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für sich eine besondere Gruppe. Unter den Drehungen sind 
diejenigen von der Amplitude 180^, die sog. ümwendungenD 
besonders wichtig, während unter den Drehspiegelungen die sog. 
Inversion (Spiegelung am Mittelpunkte) hervorzuheben ist, 
welche aber der Tetraedergruppe und denjenigen Diedergruppen, 
für welche die die Zähligkeit der Hauptaxe bestimmende Zahl 
ungerade ist, nicht zukommt. 
Sehr anschaulich lassen sich diese Beziehungen auf einer zu 
den betreffenden Baumfiguren concentrischen Kugelfläche dar- 
stellen und verfolgen , indem die durch die Symmetrieebenen 
dieser Körper auf der Kugelfläche bestimmten Hauptkreise ein 
gleichflächiges sphärisches, die Kugel ein oder mehrere Mal be- 
deckendes Netz erzeugen 2), aus welchem sich in sehr einfacher 
Weise die durch die Drehungen und Spiegelungen der Gruppe 
bewirkten Lagenänderungen eines Punktes der Kugelfläche er- 
geben. Diese sphärischen Figuren können auch durch Central- 
projection aus bestimmten einfachen ebenen Figuren erhalten 
werden, so z. B. für die Oktaeder -Hexaeder- Gruppe aus der 
(speciell regulären) Figur eines vollständigen ebenen Vierecks,' 
für die Ikosaeder -Pentagondodekaeder -Gruppe aus derjenigen 
eines sog. zehnfach-Brianchon’ sehen Sechsecks. Die Zahl der 
Collineationen, welche die sphärische Figur in sich überführen, 
ist die doppelte derjenigen für die ebene Figur, da die Sub- 
stitutionen der letzteren bei gleichzeitigem Vorzeichenwechsel 
ungeändert bleiben. 
Der Zweck dieser Mittheilung ist , etwas genauer auf die 
Eigenschaften der bisher wenig berücksichtigten dualistischen 
Umformungen oder Correlationen der regulären Gruppen 
einzugehen und auf die anschauliche Darstellung dieser Be- 
ziehungen, welche durch die auf der Kugelfläche auftretenden 
Kerncurven dieser Correlationen erreicht wird, hinzuweisen. 
1) Vgl. H. Wiener, Leipziger Berichte, XLIl. 
2) Vgl. E. Hess, Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung. 
Leipzig, ß. G. Teubner 1883. 
