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Von den Untergruppen der durch die 48 Collineationen 
gebildeten Gruppe, welcher als zugehöriges allgemeinstes gleich- 
eckiges (gleichflächiges) Polyeder das (6 + 8 + P2)- flächige 
2. 24 -Eck (das (6 + 8 + 12)- eckige 2. 24 -Flach oder Hexa- 
kisoktaeder) entspricht, seien die folgenden hervorgehoben: 
1) Die Untergruppe der 24 eigentlichen Collineationen (+) 
und (zz) 1)...24), welcher als allgemeinstes gieicheckiges (gleich- 
flächiges Polyeder das durchaus unsymmetrische (6 + 8 + 24)- 
flächige 24-Eck (das (6+8 + 24)-eckige 24-Flach oder Pe n ta- 
ge nikosi trae d er) als gyroidische Elemigonie (Hemiedrie) des 
2. 24-Ecks (Hexakisoktaeders) entspricht. 
2) Die Untergruppe der 24 Collineationen, welche aus den 
12 eigentlichen Collineationen (+) 1)... 12) und den 12 uneigent- 
lichen Collineationen (+) 25)... 86) besteht. Das zugehörige 
allgemeinste gleicheckige (gleichflächige) Polyeder ist das 
(6 + 8 + 12)-flächige 2. 12-Eck (das (6 + 8 + 12)-eckige 2. 12- 
Elach oder Diakisdodekaeder) als gegenpunktige Hemi- 
gonie (parallel-flächige Hemiedrie) des 2. 24 Ecks (Hexakisok- 
taeders); diese Polyeder haben nur die drei Symmetrie-Ebenen 
6^21 %• 
8) Die Untergruppe der 24 Collineationen, welche aus den 
12 eigentlichen Collineationen (+) !)...! 2) und den 12 uneigent- 
lichen Collineationen (+) 37)... 48) besteht. Diese Untergruppe 
ist die Gruppe des regulären Tetraeders, welcher 
als allgemeinstes gleicheckiges (gleichflächiges) Polyeder das 
(4 -}- 4 + 6)' flächige 2. 12-Eck (das (4 + 4 + 6)-eckige 2. 12-Flach 
oder H e X a k i s te t r a e d e r) als tetragonische Hemigonie (tetrae- 
drische Hemiedrie) des 2. 24-Ecks (Hexakisoktaeders) entspricht. 
Den Polyedern dieser Gruppe kommen nur die 6 Symmetrie- 
Ebenen bß zu; dagegen ist, wie bei der ersten Unter- 
gruppe, die Inversion nicht vorhanden, d. h. es existirt zu keinem 
Punkte der Gegenpunkt, zu keiner Ebene die Gegenebene. 
4) Die 12 eigentlichen Collineationen (+) 1) ... 12) bilden eine 
weitere Untergruppe (als »Durchschnitt« der drei Untergruppen 
