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Mit Hülfe dieser Eelationen und einiger weiteren leicht her- 
zuleitenden wird man die wichtigsten Eigenschaften je zweier 
sich polar entsprechenden gleicheckigen und gleichzeiligen Poly- 
tope erhalten. Den Ecken, Kanten, Flächen, Polyedern des einen 
Gewebes entsprechen bez. die Polyeder, Flächen, Kanten, Ecken 
des anderen. 
Ohne hier auf weitere Einzelheiten einzugehen, soll nur noch 
auf die sowohl auf die sphärischen Gewebe wie auf die gleich- 
eckigen und gleichzeiligen Polytope bezügliche Anwendung des 
sog. Euler’schen Satzes für den vierdimensionalen Raum hin- 
gewiesen werden, nach welchem ’) 
R — F-\-K—E=0 (10) 
ist, wenn J?, K, E die Anzahlen der Grenzräume, Flächen, 
Kanten, Ecken der Gebilde bezeichnen. Sind z. ß. B, F, K, E 
die betreffenden Zahlen für ein gleichzeiliges Polytop, so sind 
B'~E, F' — K, K' == F, E' — R die entsprechenden Zahlen 
für das polar entsprechende gleicheckige Polytop. Für das 
Gewebe (XV) z. B. ist E=384, F = 4. 192 = 768, Ar==48 + 
2.64-+- 3.96 = 464, ^;= 8 -+- 24 + 32 -+-'l6= 80. 
7) Von speciellen Lagen, welche der Punkt ^ in dem Inneren 
des Tetraeders Sg annnehmen kann, mögen nur die beiden er- 
wähnt werden, dass derselbe mit dem Mittelpunkte der dem 
sphärischen Tetraeder ein- und zweitens der um geschriebenen 
Kugel ziisammenfällt. Im ersteren Falle werden alle sphärischen 
Kanten des gleicheckigen Gewebes gleich, die sphärischen Grenz- 
flächen werden regulär und die sphärischen Grenzpolyeder Ar chi- 
medeische; die diesem besonderen Gewebe zugehörigen gleich- 
eckigen und gleichzelligen Polytope können daher ebenfalls als 
Archimedeische bezeichnet werden. 
Wenn zweitens der Punkt ^ mit dem Mittelpunkte der dem 
sphärischen Tetraeder %2 umgeschriebenen Kugel zusammenfällt, 
so werden die Abstände (>5, sämtlich einander gleich 
und daraus folgt (vergl. Formeln (9)), dass die Grenzpolyeder 
des diesem gleicheckigen Gewebe eingeschriebenen Polytops zu- 
gleich einer concentrischen Kugel u m geschrieben sind, während 
1) Vgl. a. 0 . 0. § 4 unter (3). 
