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graphische Darstellung empirisch gegebenerFunktionen erläutert werden; solche Funktionen 
sind unschwer der Meteorologie, vielleicht auch der Physiologie, zu entnehmen und ge- 
legentlich auch schon zur Vorbereitung des Differentialhegriffs zu benutzen, wie an einem 
Beispiel gezeigt wird. * Auf die Darstellung empirisch gegebener Funktionen folgt die- 
jenige analytisch gegebener Funktionen; znnächst sind ganze lineare Funktionen zu 
behandeln (geometrische Bedeutung der beiden Konstanten!), sodann ganze quadratische 
Funktionen. Redner zeigt, wie sich bei den letzteren schrittweise der Begriff des 
Differentialquotienten einführen läfst und wie dann die Parabel-Gestalt der entstandenen 
Kurve nachgewiesen werden kann. Auf die Betrachtung quadratischer Funktionen kann 
das Auflösen der quadratischen Gleichungen folgen, sowie die Behandlung der Maxima 
und Minima. Die Untersuchung der Funktionen — und yjx könne sodann auf das Studium 
gebrochener und irrationaler Funktionen hinweisen. — Die Lehre von den Reihen, 
welche Vortragender der Obersekunda zuweisen möchte, sollte von der Betrachtung der 
geometrischen Reihe ausgehen und sodann — mit Hilfe der beiden einfachsten Konvergenz- 
Sätze — zum Studium der elementaren transzendenten Funktionen führen. Für die 
Behandlung der Elemente der Integral -Rechnung macht Redner den Vorschlag, zuerst 
das unbestimmte Integral — als Umkehrung des Differentialquotienten — einzuführen 
und dann erst auf das bestimmte Integral zu kommen. — Zur Entlastung des mathe- 
matischen Unterrichts von bisherigem Lehrstoff sollte das Ausziehen von Quadratwurzeln 
dem elementaren Rechnen zugewiesen, und das Auflösen sogenannter eingekleideter 
Gleichungen beträchtlich eingeschränkt werden; auch sei auf die Kombinatorik und Wahr- 
scheinlichkeitslehre vollständig zu verzichten. 
Zum Schlufs hebt der Vortragende hervor, dafs er zwar bei seinen Vorschlägen 
zunächst das Realgymnasium im Sinne habe, dafs ihm jedoch auch für das humanistische 
Gymnasium wenigstens eine teilweise Berücksichtigung derselben wünschenswert erscheine. 
Fünfte Sitzung am 22 . Juni 1905. — Vorsitzender: Studienrat Prof. 
Dr. R. Heger. — Anwesend 12 Mitglieder und Gäste. 
Prof. Dr. Ph. Weinmeister spricht über verschiedene Themen aus 
dem mathematischen Unterrichte, als Ergänzung des Vortrags vom 
11. Mai. 
Der Vortragende gibt 1. eine einfache Ableitung der Simpsonschen Regel; 2. wird 
der binomische Satz ohne Kombinatorik entwickelt, indem die Tafel der Binomial- 
koeffizienten so hergestellt wird, dafs die Form der Koeffizienten allmählich deutlich 
hervortritt, worauf dann die Allgemeingültigkeit für alle ganzen Exponenten noch durch 
den Schlufs von n auf n -\- 1 bewiesen werden mufs; 3. wird ein Exhaustionsverfahren 
zur Berechnung des Inhalts eines Rechtecks angegeben für den Fall, dafs die Seiten- 
längen keine rationalen Zahlen sind ; 4. wird die geometrische Bedeutung des unbestimmten 
Integrals entwickelt. Es wird ein Flächenstück betrachtet, welches von den beiden Ko- 
ordinatenachsen, der Kurve y=f(x) und einer beliebigen Endordinate begrenzt wird; 
der Inhalt des Flächenstücks mufs alsdann eine Funktion F(x) der Endabszisse x sein, 
während die Endordinate y gleich der gegebenen Funktion fix) von x ist. An geeig- 
neten einfachen Beispielen kann man den Schüler darauf bringen, dafs f(x) der Differential- 
quotient von F(x) ist. Dies wird sodann allgemein bewiesen und hierdurch der Inhalt 
des betrachteten Flächenstücks als geometrisches Bild des unbestimmten Integrals von f(x) 
erkannt; 5. wird Kleins geometrischer Beweis für den Taylorschen Lehrsatz vorgetragen. 
Bei diesem Beweis wird die Parabel w-ter Ordnung gesucht, die mit einer gegebenen 
Kurve an einer vorgeschriebenen Stelle n- f-1 unendlich nahe liegende Punkte gemeinsam 
hat, wobei sich dann zeigt, dafs die Koeffizienten der Parabelgleichung die Koeffizienten 
der Taylorschen Reihe sind. 
Bei der auf den Vortrag folgenden Diskussion wird zu 2. bemerkt, 
dafs es natürlicher sei, den binomischen Satz mit Kombinatorik zu beweisen, 
besonders da hierzu nur die einfachsten Sätze der Permutationslehre nötig 
sind. Zu 3. werden verschiedene andere Methoden angegeben. Bei 5. be- 
zweifelt der Vortragende selbst die Verwendbarkeit für den Unterricht, 
besonders da doch eigentlich die Taylorsche Entwicklung dabei nur für 
einen unendlich kleinen Bereich nachgewiesen wird. 
