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physikalische Unterrichtszwecke zu Gebote stehen. Redner erwähnt in seinen weiteren 
»Ausführungen einen vonWernicke gehaltenen Vortrag „Über Formänderungsarbeit“ und 
bespricht sodann eingehender einen Vortrag, welchen Schubert-Hamburg über „Die Ganz- 
zahligkeit in der algebraischen Geometrie“ hielt. Derselbe bezieht sich z. T. auf die Eigen- 
schaften ebener Dreiecke, bei denen die Tangenten der halben Winkel rationale Zahlen 
sind, z. T. auf ähnliche Eigenschaften, welche sich bei Polygonen und Pyramiden vorfinden, 
wenn gewisse Streckenverhältnisse rational sind. 
Prof. Dr. W. Reichardt und Studienrat Prof. Dr. R. Heger machen 
einige Bemerkungen zum Gegenstände des Schubertschen Vortrags. 
Studienrat Prof. Dr. R. Heger spricht über Beziehungen zwischen 
Kreisen auf der Kugel. 
Nimmt man als Punktkoordinaten auf der Kugel (mit dem Halbmesser 1) die Sinus 
xyz der sphärischen Abstände von den Seiten eines dreifachrechtwinkligen Dreiecks, 
sind ferner ab c die Koordinaten der Kreismitte und ist endlich r f der Kosinus des 
sphärischen Halbmessers, so lautet die Kreisgleichung in Normalform 
K a x -\-b y c z — r' = 0. 
Besteht nun zwischen den Gleichungen von vier Kreisen die Identität 
(1) n x K x -j- v 2 K 2 -j- n a K 3 -j- w 4 ÜT 4 0, 
so hat das Büschel je zweier dieser Kreise mit dem Büschel der beiden andern einen 
Kreis gemein, denn wenn d , e, f, g irgend eine Folge von 1, 2, 3, 4 ist, so hat man 
(2) n,i Kd + n e Ke — n / Kf — % Kg. 
Hieraus schliefst man auf die harmonischen Eigenschaften eines vollständigen Vier- 
seits von Nebenkreisen einer Kugel, die innerlich mit denen eines Vierseits von Haupt- 
kreisen Zusammenhängen, weil (1) die Bedingung dafür ist, dafs die Ebenen der Neben- 
kreise einen Punkt gemein haben, — aber trotzdem eine gewisse selbständige Bedeutung 
in Anspruch nehmen können. 
Siebente Sitzung am 14. Dezember 1905. — Vorsitzender: Studienrat 
Prof. Dr. R. Heger. — Anwesend 13 Mitglieder. 
Geh. Hofrat Prof. Dr. M. Krause und Konrektor Prof. Dr. R. Henke 
sprechen über den von der Unterrichtskommission an die Meraner 
Naturforscher-Versammlung erstatteten Bericht zur Reform des 
mathematischen Unterrichts. 
Geh. Hofrat Prof. Dr. JVI Kraus e erinnert mit einigen Worten an die im Jahre 1904 
in Breslau erfolgte Einsetzung der Unterrichtskommission und an die derselben übertragene 
Aufgabe und bespricht sodann die leitenden Gesichtspunkte des von der Kommission er- 
statteten Berichts, soweit dieselben den mathematischen Unterricht angehen. Die Kom- 
mission tritt tür eine teilweise Änderung des mathematischen Lehrstoffs ein, indem sie 
die Stärkung des räumlichen Anschauungsvermögens und die Erziehung zur Gewohnheit 
des funktionalen Denkens als wichtigste Aufgabe des Mathematik-Unterrichts hinstellt; 
aufserdem aber befürwortet sie, dafs die Zahl der mathematischen Unterrichtsstunden für 
das humanistische Gymnasium vermehrt, für das Realgymnasium aber vermindert werde 
(die letztere Mafsregel wird mit Rücksicht auf die andrerseits geforderte Verstärkung 
des naturwissenschaftlichen Unterrichts am Realgymnasium empfohlen); ferner spricht die 
Kommission den Wunsch aus, dafs in Bezug auf Einzelheiten des mathematischen Unter- 
richts nach Stoff und Methode dem Lehrer eine weitgehende Freiheit gelassen werde; 
dieser Wunsch gilt insbesondere auch hinsichtlich der Einbeziehung der Infinitesimalrech- 
nung in den Schulunterricht. 
Der Vortragende äufsert schwere Bedenken gegen die dem mathematischen Unter- 
richt des Realgymnasiums zugedachte Verminderung der Stundenzahl; er befürchtet, dafs 
hierbei der Vorsprung verloren gehen würde, den die mathematische Ausbildung auf dem 
Realgymnasium vor jener auf dem Gymnasium besitzt; hierdurch aber würde der Wert 
der durch das Realgymnasium vermittelten Bildung eine wesentliche Beeinträchtigung 
erleiden. 
Konrektor Prof. Dr. R Henke verbreitet sich über die Einzelheiten der von der 
Kommission erhobenen Forderungen. Im Anschlufs an die Darlegungen des Vorredners 
