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beste lit. 
Anmerkung. Man kann leicht feststellen, dafs in dem besondern Falle 
n = 1 die beiden Identitäten (Ä) und {111) sich völlig decken; denn in 
diesem Falle wird das Symbol {,} gleichbedeutend mit dem Symbol [,], 
wie man sofort erkennt, wenn man z für y und p L für y 1 schreibt. 
Die Richtigkeit der behaupteten Identität {III) soll nunmehr auf zwei 
verschiedene Arten bewiesen werden; dem ersten Beweise schicken wir des 
besseren Verständnisses halber einen Hilfssatz voraus. 
Hilfssatz*). 
Wir verstehen unter f eine vollkommen beliebige Funktion von irgend- 
welchen m Veränderlichen x lf x%, ••• x m , ferner unter 
A(f) und B(f) 
zwei Ausdrücke, welche in Bezug auf 
df df df 
d x ± ’ d x 2 d x m 
homogen und linear sind, welche aber weder die Funktion f selbst, noch 
deren Ableitungen höherer Ordnung enthalten; wir nehmen also an, dafs 
etwa 
a / r\ ä f df 
Aif) = a 'j^ + a *d^ 0 
-i — + «, 
und 
df 
df 
D{f) = ß 'T¥+ ß *dV + '" + ß 
d x v 
df_ 
d X n 
sei, wobei die Koeffizienten a 1 , a 2 , • • • a m und ß lf ß 2f ... ß m lauter gegebene 
Funktionen von x ly x 2 , • x m sind. 
Dann wird 
B (A (f)) — A(D (f)) = [B («,) - A (ft)] + [ B («j - A (ft)] + • • • 
— h \ß («») ~ OM] Ar' 
U Jb m 
der Ausdruck 
B(A(f))-A(B(f )) 
ist also gleichfalls homogen und linear in Bezug auf 
ö OC 0 OC 2 0 OC fyi 
und enthält im übrigen weder die Funktion /'selbst, noch deren 
Ableitungen höherer. Ordnung. 
Die Richtigkeit dieser Behauptung kann durch Ausrechnen des Aus- 
drucks B (A (/)) - A {B (/)) sofort bestätigt werden. 
Erster Beweis der Identität {III). 
Wenn auf Grund der für das Symbol {,} gegebene Definition die drei 
Ausdrücke 
{{*¥»}/}. {W’f}?}, {{/>}</'} 
*) Jacobis Gesammelte Werke, Band V, S. 39 — 40. 
