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einzeln berechnet werden, so erweist sich, wie unschwer übersehen werden 
kann, jeder von ihnen als eine Summe, deren Glieder zwei verschiedenen 
Kategorien angehören; die Glieder der einen Kategorie — wir wollen sie 
kurz die Glieder I. Ordnung nennen — enthalten nur Ableitungen I. Ord- 
nung von 9 ), ip, f\ in den Gliedern der andern Kategorie — wir wollen sie 
die Glieder il. Ordnung nennen — kommen auch Ableitungen II. Ordnung vor. 
Wir behaupten nun, dafs, sobald die obigen drei Ausdrücke 
summiert werden, die Glieder II. Ordnung sich sämtlich gegen 
einander aufheben. 
Zuerst sei festgestellt, dafs die beiden Ausdrücke { 95 , f] und {ip, f\ 
homogen und linear sind in Bezug auf die Ableitungen I. Ordnung von 
dafs sie aber weder die Funktion f selbst, noch deren Ableitungen höherer 
Ordnung enthalten; für beide Ausdrücke sind also die Voraussetzungen 
des Hilfssatzes erfüllt. Setzen wir nun, um dieser Tatsache auch in den 
Bezeichnungen Ausdruck zu geben, 
{9,f} = A(f)> !'•'■>/} B(f), 
so ergibt sich, weil wegen der in den Formeln (7) und (77) enthaltenen 
Eigenschaften unseres Symbols 
?} + {{/>} </'} = -{? {Vf}} V\ 
=- w {</'/}} +{'p{<pf}\ 
ist, die Relation 
{ {V f\ V } + { m V } = - A (B (f)Y + B (A (/)) ; 
und diese läfst sofort erkennen, dafs der Ausdruck 
{{Qf} ?} + {{/>} v) 
keine partiellen Ableitungen II. Ordnung der Funktion f enthält (vergleiche 
den Hilfssatz). Ebensowenig kommen solche Ableitungen aber vor in dem 
Ausdruck 
{Wv\ f)\ 
denn dieser ist homogen und linear in den Ableitungen I. Ordnung von f\ 
hängt aber sonst von f gar nicht weiter ab. Demnach können in der 
ganzen Summe 
(8) {{<p v}f\ + {\vf}<f} + {{fy}V} 
keine Ableitungen II. Ordnung von f enthalten sein. — Genau ebenso läfst 
sich zeigen, dafs diese Summe auch keine Ableitungen II. Ordnung von 
(p oder von ip enthalten kann. 
Wir gehen nunmehr an die Berechnung der drei Ausdrücke 
{WV} /■}> {{vf} W- {{/>} V>}i 
schreiben aber jedesmal nur die Glieder I. Ordnung hin, da wir ja sicher 
sind, dafs die Glieder II. Ordnung schliefslich bei Bildung der Summe (S) 
wegfallen müssen. Um den Gang der Rechnung übersichtlicher darstellen 
zu können, bedienen wir uns hierbei einiger Abkürzungen ; wir schreiben, 
wenn w irgend eine Funktion von x, y, y lf y 2 r‘'Vn ist, 
' „ dwdwdcodoi d co 
J 1 2 dx dy d Vl dy 2 dy n 
