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Genau in derselben Weise aber gelangt man zu den analogen Formeln 
(6 b) {{lpf}(f}=f n (f n 'V(lp) — (fnlpn-V(f) — ipn-lfn-TJ((f)+\p n f n _ 1 'U((p)+--- 
und 
(6C) {{/>} (p} = (p n Ipn ■ V(f) — lp n f n • V((p) —f n _ i (f n • JJ {lp) + f n <pn-l 
Jetzt haben wir, um unsere Summe (S) zu erhalten, blofs noch die 
drei Gleichungen (6a), (6b), (6c) zu addieren; dabei beben sich rechts die 
Glieder mit V (cp), V (ip) und V (f) gegeneinander auf, und ebenso werden 
— wie oben bewiesen wurde — die sämtlichen Glieder II. Ordnung weg- 
fallen. Somit ergibt sich schliefslich 
{{<P V} f) + U*/' f] <f] + {{/>} <P} = <P »-1 • j In -U(ip)^ip n -U(fj] 
+ U(f) — fn-U (<jp)] + f„. <J„ ■ Uhl’)], 
und hierfür kann wegen (1) einfacher 
{{<? <f>] f) + {{'Pf} <f} + {{f<f} H>)=<Pn - 1 • {Vf} + W«-l ■ {/>} + fn-l ■ {<f lp} 
geschrieben werden. 
Hiermit ist unser Beweis vollendet. 
Zweiter Beweis der Identität (///)*). 
Auch diesmal wollen wir uns einiger Abkürzungen bedienen. Es soll, 
wenn m irgend eine Funktion der w + 2 Veränderlichen x, y , y 1} y 2 , • • • y n ist, 
w w _i und w n an Stelle von und 4—» 
oy n - 1 oy n 
ferner 
d co , dai , d a> , dw 
U(u>) an Stelle von |H+ 2/i^ + 2/sJ^ 4 f V> 
und endlich 
geschrieben werden. 
Dann ergibt sich 
(7) 
dy 
n - 1 
U 2 (co) an Stelle von TJ (TJ (co)) 
dU(w)__ jj. , 
— v = ® w-1 + U (ft) w ). 
^ y n 
Dann ist ferner, wenn ^ und u irgend zwei Funktionen von x, y, y x ,y<^, 
" • y n sind, stets 
(8) U{ Q + c) = TJ{q) + TJ{o) 
und 
(9) U(Q-a) = a -U(q) + q -U(a). 
Nun erkennt man sofort, dafs die Definition des Klammersymbols a\ 
in der Form 
(1) {Q,<r} = a n -U(Q) — Q„-U(ff) 
geschrieben werden kann, und erhält hieraus insbesondere die beiden 
Relationen 
( 2 ) {{9V>}fi=fn-m 9 tp})-^^.U(f) 
v y n 
und 
{(f ip} = ip„-U((p) — <f n -U (ip). 
*) Diesen Beweis, bei welchem die Unterscheidung von Gliedern I. und II. Ordnung 
unnötig ist und auch der oben angeführte Jacobische Hilfssatz nicht gebraucht wird, ver- 
dankt der Vortragende einer freundlichen Mitteilung des Herrn Prof. A. Mayer. 
