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minder genaue Zahl 3 benutzt, die wohl auch den ältesten Arbeiten der 
Inder, sofern sich dieselben als unabhängig von der Alexandrinischen 
Schule bestimmen lassen, zu Grunde liegt. Die erste exacte Methode zur 
Berechnung gab Archimedes (287 — 212). Indem er die Umfänge des um- 
geschriebenen und des eingeschriebenen regulären 96-Eckes berechnete und 
die gewonnenen Zahlen, welche die gesuchte Kreisperipherie einschliessen, 
in scharfsinniger Weise abrundete, erhielt er die sehr brauchbare und ein- 
fache Grenzbestimmung: 
22 
7 
> 7t > 
223 
71 
22 
Die Zahl — fand bei den späteren römischen Mathematikern Anwen- 
dung und die Archimedische Methode ging in die Alexandrinische Schule 
über. Sie enthielt die Möglichkeit einer beliebig fortsetzbaren Annäherung. 
Aber erst die Mathematiker der neueren Zeit führten die Rechnung weiter 
aus. Vieta (1579) berechnete vermittelst der ein- und umgeschriebenen 
Vielecke von 6.2 16 = 393 216 Seiten tc auf 10 Decimalstellen, Ludolph 
von Ceulen (1596) führte die Rechnung auf 32 Decimalstellen aus. Re- 
lationen für die Fläche der regulären dem Kreise ein- oder umgeschrie- 
benen n-Ecke, 2-n-Ecke, 4-n-Ecke, durch welche Grenzbestimmungen der 
Zahl tc sehr erleichtert wurden, entwickelten Snellius (1621), Huygens 
(1654) und Jacob Gregory (1667). Die analytische Darstellung wurde er- 
reicht durch die Productformel von Wallis (1656), die Kettenbruchformel von 
Brouncker, vollendet nach Ausbildung der Infinitesimalrechnung durch 
Newton (1669), Gregory (1670) und Leibniz (1673). Vermittelst der durch 
die beiden Letztgenannten aufgestellten Formel, durch welche die Länge 
des Bogens in Function der Länge der zugehörigen Tangente ausgedrückt, 
wird, haben Machin (1706) 100 Stellen, Vega (1794) 140 Stellen und in 
neuester Zeit Dahse 200 Decimalstellen der Zahl tc berechnet. 
Neben diesen die analytische Berechnung des Umfanges und der Fläche 
des Kreises abschliessenden Untersuchungen setzten sich aber seit den Zeiten 
des Mittelalters, sobald durch die Araber die Kenntniss der Archimedischen 
Schriften im Abendlande wieder anbrach, die Bestrebungen, eine directe 
geometrische Construction zu finden, ununterbrochen fort. Einerseits hatte 
man noch keine klare Einsicht davon, dass Grössenbestimmungen in der 
Mathematik überhaupt im Allgemeinen einen unendlichen Process erfordern 
und sich analytisch nicht in geschlossener Form fixiren lassen, eine Ein- 
sicht, die Leibniz scharf fixirte in dem Satze: „Die Mathematik ist die 
Wissenschaft von den Grössen, also von der Bestimmung der Grenzen, 
zwischen denen eine Grösse liegt“ (Math. Werke B. 7, pag. 53); anderer- 
seits war ja die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass tt, selbst wenn es 
irrational ist, sich geometrisch construiren lässt. Aus dem frühesten 
Mittelalter sind Bruchstücke eines von Franco von Lüttich (c. 1036 — 1055) 
verfassten Werkes über die Kreisquadratur vorhanden; der Cardinal 
