38 
Nicolaus de Cusa (gest. 1464) vermeinte geometrische Constructionen von ix 
gefunden zu haben, deren Unrichtigkeit Regiomontan aufdeckte. Zu der 
grossen Zahl Derer, welche das Problem zu lösen glaubten, gehören auch 
der bekannte Philolog Joseph Scaliger (gest. 1609) und der Philosoph 
Hobbes (gest. 1679), sowie einer der bedeutendsten Geometer seiner Zeit, 
Gregorius von St. Vincenz (gest. 1667), gegen dessen Versuche Huygens 
schrieb. Später suchte Gregorius in seiner Schrift: ,,De vera circuli qua- 
dratura“ die Unmöglichkeit zu beweisen, aber dieser Beweis sowohl, wie 
ein von Tschirnhausen gegebener wurden als unzureichend von Leibniz 
erkannt, und so blieb das Dunkel, welches über diesem Probleme schwebte, 
ungelichtet und gab fortgesetzt zu neuen Bemühungen Anlass, die zum 
Theil wegen der in ihnen enthaltenen Annäherung nicht ohne Werth sind. 
In exacter Weise wurde die Frage über die arithmetische Beschaffenheit 
der Zahl ix von Lambert gefördert, der in den Memoiren der Berliner 
Akademie vom Jahre 1761 nachwies, dass tx und auch ix 2 irrationale 
Zahlen sind. Sein Beweis ging von der Definition dieser Zahlen durch 
unendliche Kettenbrüche aus ; zur Erledigung brachte er indessen die Frage 
nach der Möglichkeit der Quadratur nicht. 
Jede durch Zirkel und Lineal ausführbare Construction ist algebraisch 
gefasst zurückführbar auf die Lösung von linearen und quadratischen 
Gleichungen, also allgemein auf die Lösung einer Reihe von quadratischen 
Gleichungen, deren erste rationale Coefficienten hat, während die Coeffi- 
cienten der folgenden nur solche irrationale Zahlen enthalten, welche durch 
die Lösung der vorhergehenden eingeführt sind. Es erscheint dann das 
Resultat als Lösung einer algebraischen Gleichung von beliebig hohem 
Grade, die aber die Eigenschaft hat, dass ihre Wurzeln durch eine end- 
liche Reihe von Quadratwurzeln darstellbar sind, wie solches zum Beispiel 
bei den Längen der Seiten der regulären Euklidischen und Gauss’schen 
Polygone der Fall ist. Es wird also die Unmöglichkeit der Quadratur 
des Kreises bewiesen sein, wenn gezeigt wird, dass die Zahl ix überhaupt 
nicht Wurzel einer Gleichung beliebigen Grades mit rationalen Coefficienten 
sein kann, dass also eine Gleichung von der Form 
a 0 ix n -(- ai ix n> 1 -|-....a n _i7r-|-a n = o 
in welcher a<> ai . . . a n ganze Zahlen sind, nicht möglich ist. Dies hat 
Hermite für die Basis des natürlichen Logarithmensystems, für die Zahl e, 
auf Grund einer beliebig angenäherten Darstellung der Exponential- 
function e z als Quotient zweier rationaler Functionen bewiesen, und es ist 
das grosse Verdienst der Lindemann’schen Arbeit, den Satz auch auf die 
Zahl ix übertragen zu haben vermittelst der imaginären Relation, in 
welcher die Zahlen e und ix zu einander stehen, vermittelst der Gleichung 
ein r= 1 . 
