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Je me propose de donner dix équations différentielles du cliamp 
gravifique qni sont invariantes pour un changement quelconque des 
variables x x , x t , x & , x 4 . Représentons par g le determinant symétrique 
forrné au rnoyen des g a b(=gba ); soit k une constante universelle 
(indépendante de x i: x 3 , x t , x A ); représentons enfin par k ( — g)~^ l 
T invariant de courbure totale de Riemann attaché a 1’élément lineaire 
(au carré) : 
2 2 g ab (fx a ÖXb (1) 
n b 
a, b — 1,2, 3, 4. 
Posons enfin: 
A / _ dl 
Va6 dg ab 
d 
dl 
2 
ï dxi \ dg a b,i / 
+ ^ 
d 2 
dl 
ij 
dxi dxj \dgab,ij J 
a, b , ij = 1, 2, 3, 4. 
( 2 ) 
OU 
9ab,i 
9ab, ij 
dgab 
*9ab 
ö * 2 ' 
dx{ dxj 
Les équations différentielles du champ gravifique sont : 
A 7 
\fab 
dL 
dgab 
(3) 
«, 6=1,2, 3, 4. 
La somme 2 est étendue aux dix combinaisons avec répétition 
u 
L 
de 1, 2, 3, 4 pris deux a deux. On a posé: 
' Af,, M* tt - M„ M*„ + M„ M* lt + 
+ M*„ M„ - M\, M, t + M*„ M u 
oü M 13 , M 13> ...jM 34 définissent le champ électromagnétique ; 
sont les dualistiques de ces six fonctions. 
Introduisons *) les seize fonctions 2 ): 
dl 
d( 1 -ff/yi) 
(4) 
34 
b //J. 
eg, l - 2 
ab 
dl 
dgab , fj. 
b, 2 
i 
dgab, fj-i 
dxi 
+ 2 ^ (1 f /«) 
9ab -p 
dl 
dgab , 
9ab, M 
[Al 
( 5 ) 
b On trouve aisément ces seize fonctions en prenant la variation S F cfune 
fonction quelconque des g a b, des g a b, i et des gal, ij, puis en transforraant cette 
différentielle d’après les procédés bien connus du calcul des variations. 
2 ) Dans le cas oü l serait remplacé par une fonction, indépendante des gab, ij 
(a, b, ij = 1,2, 3, 4) on obtiendrait les T-[ de M. Loeentz (ménioire cité, éq. 51 
et 52, p. 1088). 
