191 
2 ƒ( — ) = 2 o \(— Y 
m /u VW »/„ IVp ? V 
p ,u p 
= O (u?) ^ 1 
p ! u 
= ö Ov) • 0 (% w ) 
— o ('t^i ) , 
waaruit volgt dat de beschouwde functie in dit geval gelijk is aan 
O (U‘ ,J i) — O ) = O (uV- 1 ) 
w. t. b. w. 
Volgens de eerste hulpstelling nu is 
2 \F(u)—2f | 
u 
= 0 
1 
X m 
U—6 
itEEl 
p 
m / \[ J 
i lu 
en dus 
{log xf 
{ 1 
% % / 1> \ I n* 771 
2 F(u)= 2 2 ƒ(— J+O — — 
«=? «= 2 ra/ u \p m ) \ (log x)> 
U l U—i P 
1 
X 
771 
— 2 f(v) 0 
p m v<x \{l°9 x )~ 
p m v=l 
en volgens de laatste hulpstelling is hiervoor te schrijven 
i / i 
2 F(u) 
u—l 
ax 
log x 
+ O 
x 
m 
k ( log x Y 
!, . . . voor n = 1, 
waarmede formule (1) voor n — 1 aangetoond is. 
§ 3. Door uit te gaan van formule (11, waardoor de gemiddelde 
waarde van de functie F(u) in het interval van 1 tot x (grenzen 
ingesloten) gegeven is, kan men, zooals men weet, op elementaire 
manier de gemiddelde waarde van tal van andere functies, die met 
de functie F in verband staan, in dat interval bepalen ; dit zullen 
wij echter alleen werkelijk uitvoeren voor de gevallen, die wij noodig 
hebben om formule (1) voor willekeurige geheele positieve waarden 
van n te bewijzen. 
Hulpstelling. Uit (1) volgen de betrekkingen 
2 — — — — (log log x) n -j- O (log log x )' l—1 .... (3) 
u = 2 1 mn 
?« EE l n m 
en 
