J 
205 
Nu wij er in geslaagd zijn deze hulpstellingen aan te toonen, zal 
het bewijs van formule (1.) voor willekeurige waarde van n ons 
weinig moeite meer kosten en wel op deze wijze: wij zullen de geldigheid 
van deze stelling voor n = n x -f -n 2 demonstreeren, in de veronderstelling 
dat ze reeds voor n = n 1 , voor n = n 2 en voor n = n l -{- n 2 — 1 
aangetoond is, waarbij n 1 en n 2 twee willekeurige geheele positieve 
getallen voorstellen ; omdat de stelling in § 2 reeds voor n = 1 
bewezen is, volgt daaruit de geldigheid achtereenvolgens voor n—2, 
3, 4, . . . enz. 
Zij F{u ) de functie met parameters m en n 1 -J- n 2 , waarvoor 
gevraagd wordt, betrekking (1) te bewijzen ; dan voeren wij (en 
volgens de voorgaande hulpstelling is dit mogelijk) de functie F x (u) 
met parameters m en n l , de functie F. 2 (u) met parameters ni en n 2 
en de functie F t {u ) met parameters m en n x -J- n 2 — 1 in, zóódanig 
dat 
n, !nj ( u \ 
F{u) = — JS F x {d)F t ( - ) + O \F z (u ) | 
( n i + w a)' d\u \ d J 
en dus 
2 F(u) 
o 
=1 
n i n 
!n ! 
-2 F x (d)F 2 (d') + O 2 \F 3 (u)\ 
(Wj-) ~n 2 ). m— 2 
dd' = l 
Uz 
zl 
is. Omdat betrekking (1) voor n = n x -f- ri a — 1, dus voor de functie 
|2 * t 1 (m)| geldt, is 
I 
2 !^»l = 0 j 
U — 2 f 
u eee l 
log x 
en daar volgens onze veronderstelling (1) ook voor n — n x en voor 
n = n 2 , d. w. z. voor de functies F x {u) en F 2 (u) geldig is, is volgens 
de tweede hulpstelling dezer paragraaf 
bm(n 1 -\-n i )x m x^iF’h 1 « f(v) 
hnjnjlog x 
2 F x {d)F 2 {d') 
dd'^x 
dd'=l 
zoodat wij tot het besluit komen 
x bmx m xjh+ih— 1 
2 F(u) = 
u==2 /i( ni -i-n 2 — l)/logx 
v 
V =1 
vz m = l 
A v ) 
H- o 
X m 
log x 
Ari +0 I 
X 
m ^ «i+«2— 2 
log x 
u 
=i 
?m=l 
waarmede formule (1) voor alle geheele positieve waarden van n 
aangetoond is. 
