206 
§ 4. In deze laatste paragraaf zullen wij het bewijs en de 
beteekenis beschouwen van de formules (1) en (3), die in de 
§§ 2 en 3 bewezen zijn. Wat liet bewijs betreft, zooals men 
zier, is betrekking (1) op elementaire manier uit (2) afgeleid en zooals 
reeds in het begin der voorgaande paragraaf opgemerkt is, kan 
men met behulp van (1) weer andere formules, b.v. (3) bewijzen. 
Desgewenscht kan men op dezelfde wijze als waarop hier door ons 
(1) aangetoond is, ook (3) rechtstreeks, d.i. zonder den omweg over 
(1) afleiden, door niet van stelling (2), maar van de betrekking 
(7) 
log log x -j- O (1) 
uit te gaan en bij uitvoering zal blijken, dat in dat geval het bewijs 
zelfs eenvoudiger wordt. Toch wordt dat bewijs hier niet gegeven, 
omdat (1) dieper dan (3) ligt, d.w.z. (3) is wel uit (1) af te leiden, 
maar niet omgekeerd, zoodat het geen zin heeft eerst formule (3) 
aan te toonen, omdat men dan toch niet tot formule (1) kan besluiten 
en zooals men hieronder zal zien, is het ons hoofdzakelijk juist om 
deze formule te doen. De kwestie is echter eenigszins anders voor 
k = 1, omdat (7) dan geheel elementair uit de identiteit 
) 
/ X X 
2 log pl - + — + 
— log u 
u— 2 
) 
p^x ^ VLpJ L 
= x log x -j- O (#) 
af te leiden 1 2 3 ) is, zoodat betrekking (3) voor k — \ geheel elementair 
bewezen kan worden. 
Verder wil ik nog opmerken, dat formule (1) ook wel rechtstreeks 
te bewijzen is ; ik bedoel daarmee: zonder van (2) gebruik te maken. 
Het is n.1. mogelijk (1) functietheoretisch aan te toonen, op een 
manier analoog aan die, welke gebruikt wordt om (2) af te leiden; 
het is echter duidelijk, dat in dat geval geen sprake meer kan zijn 
van oen elementair bewijs, terwijl wij er hier juist in geslaagd zijn 
(1) met elementaire methodes uit (2) af te leiden. 
Wanneer in (1) en (3) g gelijk aan nul gesteld wordt, dan krijgt 
men deze 
Stelling. Als de eindige rekenkundige functie I (u) voor e u m 
en ook voor e u = m, a u n en de functie ƒ (v) voor e v ^ m verdwijnt, 
terwijl F{u) voor e u — m, a u = n gelijk aan f{v u ) is, dan geldende 
formules (1) en (3), indien / en k onderling ondeelbaar zijn. 
1 ) E. Landau. Handbuch I. p. 450. 
2 ) E. Landau. Handbuch I. p. 77, (formule 4). 
3 ) E. Landau. Handbuch I. p. 98 — 102. 
