207 
Om de beteekenis van deze stelling te doen uitkomen, volgen 
hieronder vier toepassingen. 
Toepassing I. Ieder geheel getal u^> 1 heeft bij ontbinding in 
ondeelbare factoren een exponentens} r steem en nu vraag ik me af 
hoeveel getallen er met een gegeven exponentensysteem beneden een 
gegeven grens voorkomen en hoeveel van deze getallen er te vinden 
zijn in een gegeven rekenkundige reeks, waarvan de beginterm en 
het verschil onderling ondeelbaar zijn. Het is duidelijk, dat de eerste 
vraag een bijzonder geval van de tweede is. Indien het gegeven 
exponentensysteem uit één getal bestaat en dit getal is gelijk aan 1, 
dan is de tweede vraag identiek met de vraag, hoeveel ondeelbare 
getallen die rekenkundige reeks beneden een gegeven grens bevat 
en het antwoord daarop wordt door formule (2) gegeven ; als het 
exponentensysteem uit één getal m j> 1 bestaat, dan wordt er gevraagd 
hoeveel getallen er in de rekenkundige reeks beneden een gegeven 
grens voorkomen, die gelijk zijn aan de m e macht van een priem- 
getal en dit aantal is nog gemakkelijk met (2) te berekenen. De 
kwestie wordt echter ingewikkelder, zoodra het exponentensysteem 
uit meer dan één getal bestaat, maar nu kan men het antwoord 
voor elk exponentensysteem vinden met bovenstaande stelling. Stel 
n.1. het kleinste getal, dat het gegeven exponentensysteem bevat, 
gelijk aan in en stel dat dit getal daarin n maal voorkomt, zoodat 
het gegeven exponentensysteem te schrijven is in den vorm 
Cty^ ^2? • • • j 7Tt^ 77Z) • • • ^ 777^ 
» 
waarbij a p m voor o ^ p ^ 1 . 
Als wij nu F {u) gelijk aan 1 of 0 stellen, al naar gelang het 
exponentensysteem van u wél dan niét met het gegevene overeen- 
stemt en f iv) gelijk aan 1 of 0, naargelang het exponentensysteem 
van v al dan niet met het systeem a x , a* overeenkomt, dan 
zijn de in bovenstaande stelling gestelde voorwaarden vervuld ; 
immers, dan is 
1°. F (u) = 0, voor e u <m en ook voor e u = m, a u ^>n, 
2°. f(v) — 0, voor e v m, 
3°. F {u) =f(v u ), voor e u — m, a u = n, 
want als e u — m, a u = n is en het gegeven exponentensysteem stemt 
wel (niet) overeen met dat van u, dan komt ook het systeem 
«j, wel (niet) overeen met het exponentensysteem van v u , 
zoodat zoowel de functie F (u) als de functie ƒ (v u ) dan gelijk aan 
één (nul) is. Omdat wij de stelling dus mogen toepassen, geeft 
formule (1) ons de sommen 
