91 d 
gelden. Het spreekt wel vanzelf, dat een dergelijke betrekking niet 
geldt voor iedere functie, die aan de in § 1 gestelde voorwaarde 
voldoet. Het blijkt echter, dat wij deze voorwaarde (en wel het 
tweede gedeelte daarvan) slechts een weinig behoeven te verscherpen, 
om er zeker van te zijn, dat zulk een betrekking wèl geldt. En 
wel als volgt : 
Als de rekenkundige functie F (u) van het geheele getal u )> 1 
aan deze voorwaarde voldoet : 
1°. voor e u <^m en ook voor e u = m, a u )> n is 
F (w) = 0 ; 
2°. voor e u = in, a u ^ n is 
F (u) = ƒ(»„, a u ), 
waarbij f{v,a) een eenduidige functie van de geheele positieve 
getallen v en a voorstelt en 
1 
3°. F (u) =r 0(v u :% waarbij g < — — — ; 
mimi t) 
dan zijn er bij iedere geheele positieve waarde van q constanten 
D a ,b voor q ^ a ^ 1 , n — 1 ^ ó ^ 0 te vinden, zóódanig dat 
/ 1 \ 
i 
2 F (u) — x r 
u—2 
iiEEEl 
9 n — 1 H 0 q l 0 q x \b 
2 2 Da ^-F + o 
a=i 6=0 {log x) a 
X 
m 
[log x) ( ! 
is. 
Deze stelling is wederom zeer algemeen ; dit blijkt ten duidelijkste 
door de opmerking, dat de functies, die in de vier toepassingen van 
deze paragraaf voorkomen en gelijk aan F (ii) gesteld zijn, ook aan 
de in deze stelling gestelde voorwaarde voldoen, zoodat de formules, 
die in die toepassingen zijn afgeleid, dan ook met deze stelling te 
verscherpen zijn. En de formules, die men dan in toepassing II 
krijgt, zijn juist de formules (8). 
De stelling is elementair, d. i. zonder gebruik te maken van functie- 
theoretische beschouwingen, af te leiden uit de bekende betrekking 
• ! = I f 
< , J 
du 
log 
x 
( log x)l y 
F) 
2 1 = T I ° 
p^x 
p=l 
volgens een redeneering, die eenigszins overeenkomt met de hier 
voor het bewijs van formule (1) gevolgde ; het spreekt echter wel 
vanzelf, dat het bewijs niet zoo eenvoudig is. 
E. Landau. Handbuch. 1. p. 468. 
