521 
Wiskunde. — De Heer Hk. de Vries biedt een mededeeling aan 
van den Heer J. Wolff : „Over de du bbel kromme van een 
algebraïsch opperv lak .’ ’ 
('Mede aangeboden door den Heer L. E. J. Brouwer). 
§ 1. Wij beschouwen een oppervlak F van de orde n, met een 
dubbelkronime A, en zonder eenige andere singulariteit. Stel dat we 
door een birationale transformatie F afbeelden op een ander opper- 
vlak F *, zoodanig dat A in een niet-singuliere kromme A* van 
F* overgaat. Dan kan A* één enkele kromme zijn of uit twee 
deelen bestaan. Het eerste heeft plaats als het ontwikkelbaar opper- 
vlak 12 van de raakvlakken paren langs A ongesplitst is, het tweede 
als .12 uiteen valt. We zullen ons bezighouden met het eerste geval. 
Dan is het geslacht jt* van A* gelijk aan dat van 22, want de 
punten van A* correspondeeren één aan één met de vlakken van 
22. Hoe men dus ook F birationaal overvoert in een oppervlak 
waarop A een niet-singuliere kromme tot beeld krijgt, altijd zal dat 
beeld eenzelfde geslacht 7t* hebben. De waarde van tt* is door 
Clebsch berekend voor het geval dat F een rationaal oppervlak is, 
m. a. w. birationaal op een plat vlak kan worden afgebeeld. Hij 
vindt = d (n — 4) -f- 1, waarin cl de orde van A is 1 )- Dit wordt 
langs analjtischen weg afgeleid. Door een meetkundige inkleeding 
laat zich het bewijs vereenvoudigen. Hiermee zullen we beginnen 
en daarna de stelling bewijzen voor- een willekeurig oppervlak, dus 
ook als het niet rationaal is. 
§ 2. Zij F n (x x x, x s xï) = 0 een rationaal oppervlak van de orde 
n, dat met behulp van de formules 
Q l X l =/,{S 1 g 8 ) 
ï — — fl (§i ^2 
— ,/a ('-1 S2 Sa) 
=ƒ.(§! ^2 F) 
op een plat vlak F * afgebeeld wordt, waarin 5* de homogene 
coördinaten van een punt voorstellen, terwijl de fi homogene functies 
van zekeren graad v zijn. Laat F geen andere singulariteiten hebben 
dan een dubbelkronime A van de orde d, en laat haar beeld op 
F* één enkele kromme A* zijn. De vlakke doorsneden C van F 
beelden zich af als krommen C* van de orde r, die op F* een 
lineair stelsel vormen. De doorsneden van F met de co 2 vlakken 
door een punt P beelden zich af als de 00 2 krommen C* van een 
L Math. Arm. Bd. 1, bl. 270. 
Verslagen der Afdeeling Natuurk Dl. XXV. A n . 193 G / 1 7 . 
34 
