522 
net. De Jacobiaan J* van dat net, meetkundige plaats van de 
dubbelpunten van de co 1 daarmee voorziene krommen die het net 
bevat, is de afbeelding van de aanrakingskromme J van den raak- 
kegel uit P aan F gelegd. J is de doorsnee van F met het eerste 
pooloppervlak van P, buiten A. Hieruit volgt dat de doorsneden 2 
van F met willekeurige oppervlakken van de orde n — 1 zich af- 
beelden als krommen waarvan één exemplaar de samengestelde 
kromme A* -f- J* is. Daar de fi den graad v hebben, is de orde 
van A* -j- J* gelijk aan (n — l)r. J* heeft (als jacobiaan van een 
net krommen van de orde v) de orde 3(r — 1). Dus A* heeft de 
orde 
(n — 1) ij— 3 (y — 1) = v{n — 4) -f- 3. 
De krommen C* kunnen basispunten hebben. Is B; t een A-voudig 
basispunt, zoodat alle h - keer door Bk gaan, dan gaat de Jacobiaan 
J *, zooals bekend is en trouwens gemakkelijk geverifieerd kan 
worden, 3 h — 1 keer door Bj,. De doorsnee 2 van F met een wille- 
keurig oppervlak van de orde n — 1 beeldt zich op F* af als een 
kromme 2*, die wordt voorgesteld door een homogene vergelijking 
van den graad n — 1 in de fi, zoodat een dergelijke kromme (n — i)h 
keer door Bh gaat. Dus A* gaat [n — j) h — (3 h — 1) — h {n — 4) -f 1 
keer door B],. Het geslacht n* laat zich nu eenvoudig berekenen. 
Men heeft n.1. 
vr* = 4 {v (n — 4) -f 2] [v (n — 4) -f lj — 2 % h (n — 4) jA (n— 4) -j- lj, 
waarin * de sommatie zich over de verschillende basispunten Bh uit- 
strekt. Bedenkt men, dat het geslacht van een vlakke doorsnee C 
van F gelijk is, aan dat van haar beeld C* op F *, m.a.w., dat 
men heeft 
i (r — 1) (u— 2) — \2h (A— 1) = i (n— 1) (n— 2) — d, 
dan komt er 
jt* — d ( n — 4) -f- 1. 
§ 3. De bovenstaande redeneering kan geen dienst doen, als F 
niet rationaal is, zoodat F* geen plat vlak is. Zij dan F n een 
oppervlak van de orde n, rationaal of irrationaal, met een dubbel- 
kromme A van de orde d en zonder eenige andere singulariteit. 
Zij (i de klasse van het ontwik kelbaar oppervlak <2 dat door de 
raakvlakkenparen langs A gevormd wordt, en laat h zijn het aantal 
punten van A, waar de beide raakvlakken samenvallen (pinch-points). 
Stel dat men F door een birationale transformatie heeft overge- 
voerd in een ander oppervlak F*, zoodanig, dat A overgaat in één 
enkele kromme A*. De vlakke doorsneden C van F beelden zich 
