525 
gevallen heet 2;r* — 2 — g de immersieconstante van A* en is[V*,A*| 
3 [_U*,A*] a ). 
§ 5. ' Valt LI uiteen in twee ontwikkelbare oppervlakken 12 x en 
12 2 , dan valt A* uiteen in twee krommen A x * en A 2 *, die beide 
hetzelfde geslacht n als A hebben. A x * en Af ; ' snijden elkaar in 
de k beelden van de snijpunten op A. Zonder nadere vaststellingen 
kan men nu niet zeggen, dat de formule n* — d (n — 4) -k 1 doorgaat, 
omdat A* is ontaard. Maar men kan zich voorstellen dat de kromme 
A,* + A 2 * tot een continu systeem behoort en dan hebben de 
krommen van dat systeem het geslacht 
ji* — rr -1 \- n -\- k — l ==: 2 jt -j- k — 1. 
En ook als A x * + A 2 * niet tot zulk een systeem behoort, heet 
2 rr -}- k — \ het virtueele geslacht van deze ontaarde kromme 2 ). 
Zij g x de klasse van 12 x en p 2 die van 22 2 . Een A 1 snijdt A in haar 
d(n — 1) dubbelpunten. Dezen beelden zich in cl{n — 1) paren op 
F * af en van ieder paar ligt één punt op A x *, het andere op A 2 *. Dus 
[A 1 *, Aj*] = A 2 *l = d (n— 1). 
En daar JS 1 * = A x * -{- A 2 * -j- J*\, heeft men 
d (n— 1) = [Aj* + A 2 * + J*, A*J = |A X * + A 2 * + 7*, A 2 *]. 
Dus 
d (n — 1) = g x -j- k + k 4 - g x — g^ + k k -j- /.t 2 , . . . (1 ) 
waar g x en g. z de virtueele graden van A x * en A 2 * zijn. 
De immersieconstante 2.-r — 2 — - g x van A x * is gelijk aan 
[7* A X *J — 3[0* A x *], 
dus 
k ~r !> x — 3 d=2 jt — 2 - g x ) . ^ 
en k -f- — 3 d = 2 n — 2 — g 2 j 
Uit (2') volgt 
2jt -k k — 1 = k (di + l l i + 7s + fh + 3<i-k 1. 
Dus in verband met (1') 
2 st -k k — 1 — d(n — 4) 4“ 1 . 
De formule ji* = d (n — 4) + 1 gaat dus ook door als LI degenereert, 
mits men dan voor jt* het virtueele geslacht neemt. 
We hebben dus deze algemeene stelling: 
De orde van een algebraïsch oppervlak dat geen andere singulariteit 
heeft dan een du bbelkro mm e A van de orde d, 'waarlangs de raak- 
vlakkenparen een ontwikkelbaar oppervlak 12 vormen van het geslacht 
Jt*, is 
4 F. Severi, II genere aritmetico ed il genere lineare, (Atti della R. Acc. d. 
Sc. di Torino, dl. 37, 1901 — 2). 
2 ) Zie b.v. E. Picard „ Théorie des fond alg. de 2 var." dl. 2, blz. 106. 
