647 
de getransmu teerde van een funksie u met een konvergentiestraal /? 
overal binnen een zekere sirkel groter dan («) bestaat, zonder dat die 
daar door een reeks van de vorm (1) bepaald wordt. 
Beschouw de transmutatie 
Tu — 
^4 ( — 1 ) m x m ~k l 
j m 
^ i m -T !)•' 
u' m ) 
( 12 ) 
Voor gebieden ( a ) met de oorsprong tot middelpunt heeft men 
blijkbaar a = a, dus 
/I = 2« , of « — 1 . 
Toch is de konvergentiestraal van v = Tu niet de helft van die 
van u, maar presies gelijk er aan, wat duidelik wordt, als men 
weet dat de transmutatie (12) de operatie Z) -1 voorstelt, wanneer 
het punt x — 0 als benedenste grens van de integratie wordt aan- 
genomen. De operatie D~ l is dus een transmutatie van die aard 
dat hij een getransmuteerde in het hele gebied («) oplevert voor 
iedere funksie die tot diezelfde sirkel (a) behoort, maar in het gebied 
(«) slechts voor diè funksies die tot de sirkel (/3) = (2a) behoren, 
door een reeks van de vorm (1) bepaald wordt. De zaak is dat, 
t.o.v. de laatstgenoemde funksies, de sirkel (| /3) wèl voor de reeks 
(12), die geen machtreeks in de letter x is, het grootste sirkelx ovmige, 
konvergentiegebied vormt, maar niet voor de machtreeks waarin (12) 
kan worden getransformeerd ; dit verschijnsel is echter helemaal niet 
vreemd. Aan de transmutatie 
o 
u( m ) , 
(m 4“ 1)/ 
(13) 
die uit (12) ontstaat door de afwisseling van tekens te laten ver- 
vallen, is onmiddellik te zien dat die dit verschijnsel niet zo algemeen 
kan vertonen : men begrijpt dat hier bv. voor die funksies u die 
identiek zijn met hun natuurlike majoranten *), de stelling geldt dat 
r' — \r en r de korresponderende konvergentiestralen zijn van v = Tu 
en u. Bedenkt men verder dat voor de transmutatie (13) geldt 
Tu = 2 D- 1 u (2x) — D- 1 u (x ) , 
: ) J. Tannery, Introduction a la théorie des fonctions II, No. 343, verstaat 
onder de natuurlike majorantfunksie van een andere degene die uit de eerste ont- 
staat, door de koëffisienten in zijn machtreeksontwikkeling, in de omgeving van 
de oorsprong , te vervangen door hun modulus. Wij zullen, als er sprake is van 
de omgeving van een willekeurig punt x 0 , onder de natuurlike majorant van u 
verstaan de funksie die men uit u krijgt door de koëffisienten voor de plaats x 0 door 
hun modulus te vervangen. 
