649 
Dit geldt alles onafhankelik van de funksie waarop S toegepast 
wordt. Maar de vraag, wat liet nieuwe konvergentiegebied wordt, 
hangt daar wèl van af. Want daarvoor heeft men de vergelijking 
(o (#) — re 
op te lossen voor alle waarden van 6 die argumenten zijn van 
singuliere punten van u op de omtrek van (r), en daaruit die 
oplossing te kiezen waarvoor x— x 0 de kleinste modulus £ heeft, 
dan is ieder sirkelvormig gebied rondom x 0 dat kleiner is dan (£), 
voor zover het geen singulier punt van de substitutiefunksie (o (x) 
zelf bevat, zodanig dat S^x) in dat hele gebied bestaat-, dit gebied 
varieert dus mèt de beschouwde funksie. Zo heeft men voor de 
transmutatie (15), toegepast op de funksies 
1 1 
resp. de vergelijkingen 
x 1 -{- x = 1, en x* x = — 1 
op te lossen ; de eerste levert als konvergentiestraal van v = Tu 
het getal \ ([/ 5 — 1), in overeenstemming met het feit dat deze u 
een majorantfunksie is, de andere het getal 1, gelijk aan de konver- 
'gentiestraal van de overeenkomstige u zelf. 
Het kan ook gebeuren dat de getransmuteerde van een funksie 
in geen enkele nog zo kleine omgeving van x 0 door een reeks van 
de vorm (1) bepaald wordt, terwijl hij toch in alle punten van een 
dergelijke omgeving bestaat. Dit doet zich voor, als de konvergentie- 
sirkel van de funksie kleiner is dan de minimiansh'kei ( b ), die nog 
de eigenschap heeft, dat reeks (1) voor alle funksies die er toe 
behoren een getransmuteerde in het punt x 0 oplevert. Neem b.v., 
in de omgeving van x — 0, 
Daarbij is 
Tu — S x ^ i (w)- 
a x — to (x) — x ■=. 1, dus ook a — = 1. 
1 
1 -f- x 
is Tu — 
1 
2 + 
Voor de funksie 
deze uitkomst bestaat in ieder gebied rondom x — 0 met een straal 
kleiner dan 2, terwijl hij in geen enkele, nog zo kleine, omgeving 
door een reeks van de vorm (!) bepaald wordt, deze is hier nl. 
— 1 V»+! 
1 -f- x) 
Dat het iets heel gewoons is, als de getransmuteerde wèl in som- 
mige gebieden besta, at, maar daarin niet door een reeks van de vorm 
