650 
(1) wordt voorgesteld, blijkt ook nog duidelik als volgt: Men kan 
voor een bepaalde, gegeven funksie eens voor goed liet gebied kon- 
strueren, waar de reeks (1) overal, en dat waar, hij nergens een 
getransmuteerde voor die funksie oplevert. Men beschouwe daartoe 
alle singuliere punten s van de funksie, en konstruere bij ieder de 
verzameling van punten met de eigenschap dat de waarde die de 
grootheid a x daar heeft, kleiner is dan hun afstand tot s, en ook de 
verzameling van punten, waar die waarde groter is dan de bedoelde 
afstand. De laatstgenoemde puntverzameling zal gewoonlik bestaan 
uit kontinua rondom de singuliere punten ; in geen enkel van die 
kontinua konvergeert de reeks, maar het is duidelik dat de getrans- 
muteerde van de beschouwde funksie in ’t algemeen binnen die 
kontinua zal kunnen worden voortgezet , behoudens tot in enkele 
uitzonderingspunten die met de singuliere punten kunnen, maarniet 
moeten samenvallen. Zo is bij de transmutatie (12), die beantwoordt 
aan D~ l , en waar a x — \x\, voor funksies die enkel het singuliere 
punt x — 1 hebben, het gebied van punten waar a x groter is dan 
de afstand tot het punt x = l, het kontinuum rechts van de lijn 
x — b, en in geen enkel punt van dat halfvlak konvergeert de reeks 
(12). De operatie Z) -1 echter, die in het halfvlak links van die lijn 
door de reeks wordt voorgesteld, bestaat tevens overal in het eerst- 
genoemde kontinuum, uitgezonderd in een lijn van het singuliere 
punt afgaande. In het voorbeeld van de substitutie >Sj_p a , dat 
we het laatst gaven, is a x = 1 ; een funksie met het singuliere 
punt x = — 1 heeft dus in een sirkel vormig gebied met dat 
punt tot middelpunt en 1 tot straal nergens een door (1) bepaalde 
getransmuteerde, maar wel een getransmuteerde , behalve in 
het punt x = - — 2 van de genoemde sirkel (hier is dus het sin- 
guliere punt door de transmutatie verschoven). Voor de substitutie 
So>[x) in ’t algemeen is, voor het punt x = 0, a x = |eo(0j|. Is dus de 
konvergentiestraal van u kleiner dan |to(0)|, dan wordt de substi- 
tutie in geen enkele, nog zo kleine omgeving van O door een reeks 
van de vorm (1) bepaald *). Dit leert o. a. direkt dat de boven- 
behandelde substitutie S x +x*, waarvoor o*(0) = 0 is, voor iedere 
funksie u, met O als gewoon punt, in een zeker gebied rondom O 
door zo’n reeks wordt uitgedrukt. Voor funksies met het singuliere 
punt x = -j- 1 bestaat het gebied van de reeks (1) die bij Sx+a* 
behoort uit het kontinuum binnen een ovaal die simmetries is t.o.v. 
de reële as, en deze snijdt in de punten 
x = — b (t/5 -f- 1) en x = \ (\/b — 1) . . . . (1 G) 
P Zie ook de verdere behandeling van de substitutie in N°. 17. 
