ratiegebied om xq voor T zelf in ’t algemeen groter is, nl. een 
straal heeft gelijk aan de minimumafstand tot de verschoven singu- 
liere punten. 
8. Bij de beschouwingen in het voorgaande nummer is ondersteld 
dat de transmutatie 7’ op andere wijze gedefinieerd was dan door 
de reeks (1). Het kan echter ook voorkomen dan men uitgaat van 
een reeks (1) als detinitie van een transmutatie. Deze levert dan 
voorshands voor funksies met een kon vergen tiesirkel (/?) alleen in 
het inwendige van het korresponderende gebied (a) een ge trans- 
na- n teerde. Maar de analitiese voortzetting van de funksie v = Tu 
levert nu, om zo te zeggen, tevens de analitiese voortzetting van de 
transmutatie, zodat deze ook voor punten buiten het gebied («) 
bepaald is. Intussen moet, zó beschouwd, deze voortzetting voor 
elke nieuwe funksie opnieuw plaats hebben, terwijl men zou wensen 
een analitiese uitdrukking te hebben, die de uitkomsten van de 
operatie, tenminste voor een ganse ondergroep van de beschouwde 
funksies, in een gebied buiten («) voorstelt. 
Om dit gedaan te krijgen, kan men een punt x x binnen de sirkel 
met middelpunt x Q als nieuw sentrum aannemen, en daarvoor een 
korrespondentie tussen grootheden a' en /?', zoals in No. 6 uiteen- 
gezet is, opstellen ; de funksies a m (x), uit de gegeven reeks, leveren 
hiertoe het middel. Niet voor alle funksies evenwel die tot 
behoren zal de reeks in het nieuwe gebied ■(«') kon vergeren, zodat 
deze handelwijze, om op een uitdrukking die we in ’t volgende 
nummer zullen invoeren, vooruit te lopen, steeds een uitbreiding 
van het numerieke veld ten koste van het funksionele beduidt. 
Hetzelfde zagen we trouwens reeds bij de beschouwing van gelijk- 
middelpuntige velden: als n toeneemt, neemt ook (3 toe, d.w.z. de 
funksiegroep krimpt in. 
De beschouwing in het vorige nummer leert evenwel dat men 
zó, zelfs als men slechts funksies met eenzelfde singulier punt in ’t 
oog vat, een heel gebied van punten niet bereiken kan, waar de 
getransmuteerden van die funksies toch wel degelik bestaan. Dit 
gebied is, algemeen gesproken, voor alle funksies met dezelfde 
singuliere punten hetzelfde; uitzonderingen betreffen gevallen die 
zich aan het teorema van Bourlet onttrekken, zoals aan ’t eind van 
No. 3 is aangegeven. Heeft men echter de uitkomst v—Tu voor 
één funksie u van de groep analities voortgezet, benevens de uit- 
komsten van zekere operaties die men de afgeleiden van 7’ kan 
noemen, dan is het mogelik, om voor alle funksies die dezelfde 
soort singulariteit hebben als u, een reeks aan te geven, die de 
