656 
volledigheidshalve zeggen : „kontinu voor, of ten opzichte van, of 
zelfs wel in het N.V.O.” Bij gebruik van het voorzetsel „in” is 
evenwel te bedenken, dat er van een vergelijking van de uitkom- 
sten van de transmutatie, voor eenzelfde funksie, in een punt van 
het N.V.O. en een numerieke omgeving van dat punt geen sprake is : 
het begrip kontinuiteit van een transmutatie heeft louter betrekking 
op vergelijking tussen de uitkomsten, voor éénzelfde punt van het 
N.V.O., in een „punt” van het F. V. en een funksionele omgeving 
van dat punt. 
De hier gegeven vorm voor de definitie van de kontinuiteit van 
een transmutatie beantwoordt aan die van Cauchy voor de kontinuiteit 
van funksies. Gelijkwaardig daarmee is de volgende vorm, die be- 
antwoordt aan die van Heine voor de kontinuiteit van funksies: 
Een transmutatie is kontinu, indien de uitkomst v (ah — Tu (x) in 
het N.V.O. tot v 0 fv) — Tu 0 (x) nadert , zo de funksie u {x) in liet 
N.V.F. nadert tot u Q (x). Hiermee wordt bedoeld dat, indien u (x), 
als veranderlike funksie, een fundamentaalreeks van funksies, 
u i O) 5 O') i • • • u n G) , • • • , 
doorloopt, die alle lot het F. V. behoren, en in het N . V. F. uniform 
tot u 0 (x) naderen, de getransmuteerde v (x) = Tu (x) een fundamen- 
taalreeks 
Vj G) . G) , . . . v n G) , . . . 
doorloopt, die in het N. V. O. uniform naar v 0 (x) konvergeert; en 
wel, dat dit voor iedere zodanige fundamentaalreeks van funksies 
u n (■v ] gebeurt. 
10. Van belang is het nu, om op te merken dat het onderscheid 
tussen de drie gevallen van kontinuiteit in het vorige nummer 
genoemd voor additieve operaties overbodig is, omdat de volgende 
stelling geldt, die analogie vertoont met het bekende teorema van 
Heine uit de funksieteorie : 
Een additieve operatie, die kontinu is in slechts één punt ufx) 
'van het funksionele veld, is uniform kontinu in dat veld. 
Bewijs: Zij M u de bovenste grens van de modulus van de funksie 
u in liet N.V.F. Dan valt uit het onderstelde af te leiden dat er 
bij een gegeven willekeurig klein bedrag r een bedrag d is, zodanig 
dat in een willekeurig punt x van het N.V.O. 
Tu O) — Tu, O) r, zodra M u _ Ul <f ó. 
Stel 
U (x) = Mj G) -f- ó G) 
dan is, tengevolge van de additieve eigenschap van T, 
