(357 
T ff (éc)[ <j r, zodra M&\ x ) <j d, 
en deze laatste regel, waarin de beginfunksie u l ix) niet meer voor- 
komt, zegt : Bij ieder willekeurig klein bedrag r is er een bedrag d, 
zodanig dat de absolute waarde van de getransrnuteerde van een 
funksie, in het willekeurige punt x van het N.V.O., kleiner is 
dan r, zodra de absolute waarde van die funksie zelf overal in het 
N.V.F. kleiner is dan d, onverschillig welke die funksie overigens is, 
mits hij tot het beschouwde F.V. behoort. Hieruit volgt: zodra de 
afstand tussen twee funksies u x en u. 2 van het F.V. kleiner is dan d, 
is in het hele N.V.O. 
T (u x («)— m s (.«)) < T 
of, volgens de additieve eigenschap, 
T Ul {cc)—T u 2 (,«) < t. 
Daarmede is de stelling aangetoond. 
Na deze stelling bewezen te hebben, kunnen we dus de uitdruk- 
kingen „kontinu in een punt van het F.V.”; „kontinu in het F.V.” ; 
„uniform kontinu in het F.V.” zonder meer door en voor elkaar 
gebruiken; meestal zullen we ons van de middelste bedienen. Of, 
als we onze aandacht hierbij tevens op het numerieke veld willen 
vestigen, zullen we een uitdrukking in deze trant gebruiken : De 
transmutatie is kontinu in het beschouwde veldpaar. 
11. De gedachtegang in het voorgaande bewijs gevolgd, suggereert 
de opmerking dat men de redeneringen over kontinuiteit van een 
additieve operatie nog wat vereenvoudigen kan, door gebruik te 
maken van de volgende stelling : 
Zal een additieve operatie kontinu zijn, dan is het nodig en vol- 
doende dat er bij ieder gegeven willekeurig klein getal x een getal d is, 
zodanig dat in het hele N . V. O. 
T ii (.?;) < r, 
onder de enkele voorwaarde dat 
M u < d . 
Hierin is M u weer de maksimummodulus van u in liet N.V.F. 
Bewijs. 1°. De voorwaarde, in de stelling bevat, is voldoende. 
Immers, is hij vervuld, dan zal indien de afstand tussen twee funk- 
sies u 1 en u 2 van het F.V. hoogstens gelijk is aan d, de getrans- 
muteerde van hun verschil, in het hele N.V.O., in absolute waarde 
hoogstens gelijk zijn aan r en dus evenzeer, volgens de additieve 
eigenschap van T, het absolute verschil van hun getransmuteerden. 
2°. De voorwaarde is noodzakelik. Is hij niet vervuld, dan wil dit 
zeggen : er is een pozitief getal r zodanig dat er, bij ieder gegeven 
