658 
willekeurig klein getal é, een funksie et (x) in het F.V. is waarvoor 
tegelijk 
A I r ] < é en Té (#j)! > r, 
liet laatste voor een of ander punt x 1 van het N.V.O. 
De operatie T kan nu nooit kontinu zijn : van welke beginfunksie 
u l (x) men ook uitgaat, bij ieder gegeven willekeurig klein getal dis 
er een funksie u (x), zodanig dat tegelijk 
AT U — Ul < d en | Ta (xj — Tu x {xj) f r . 
Om dit in te zien, hoeft men voor u maar te kiezen de funksie 
u x {x) J r é{x) en de additieve eigenschap van T toe te passen. 
We kunnen de stelling van dit nummer, in aansluiting met de 
tweede kontinuiteitsdefinitie, ook als volgt uitspreken : Zal een additieve 
transmutatie kontinu zijn , dan is het nodig en voldoende dat de 
funksie v (x) = Tu[x ) in het N.V.O. tot nul nadert, indien dit met 
u («) in het N. V.F. het geval is. 
Na deze algemene beschouwingen keren we terug tot de volledige 
transmutatie. 
12, We hebben een transmutatie volledig in een sirkelvornrig gebied 
(«) met middelpunt x 0 genoemd, als er een zekere sirkel (p) is, kon- 
sentries met («), en dus ook een zekere minimumsirkel (/?) bepaald 
door de formule (7), zodanig dat de reeks (1), waardoor de tians- 
mutatie bepaald is, voor alle funksies die tot die sirkel behoren, 
een getransmu teerde in het hele gebied («) oplevert. Dus is een 
transmutatie waarvan we zeggen dat hij volledig in een gebied («) 
is, daardoor zonder meer bepaald in een zeker numeriek operatie- 
veld, nl. (d), terwijl we als bijbehorend funksioneel veld kunnen 
nemen: iedere groep van funksies behorende tot een gebied (p) als zoeven 
bedoeld, niet kleiner dan (j3). Het numerieke veld van de funksies 
is hierbij altijd de sirkel (p) ; de bovenste grens, in dit veld, van de 
modulus van een funksie u van het F.V., die we bij de algemene 
beschouwingen door M u hebben voorgesteld, is nu gelijk aan de 
maksimummodulus M (p) van u op de omtrek van (p). 
Van de volledige transmutatie geldt de volgende kontinuiteit- 
stelling : 
Een transmutatie T, die volledig is in zeker numeriek operatieveld 
(«), is kontinu in ieder F. V. gevormd door de funksies die behoren 
tot een sirkel (o) groter dan het met («) kor r esp onder ende gebied (/?). 
Bewijs. We stellen o = [3 é, (éf>'0). In het tweede deel van 
het bewijs van de stelling in No. 4 is gevonden dat, in een wille- 
