364 
Tu — a 0 (x) u -f- 
a l (,7;) 
a„i («) 
ml 
uM 4 - . . , 
(l) 
waarin a 0 (x), a x (x) . . . , a m (#)> . . . door de gegeven transmutatie 
volkomen bepaalde funksies van x voorstellen, die in een gebied 
rondom x 0 regulier zijn, en u, u",..., mW . . . de achtereenvolgende 
afgeleiden van de funksie u waarop de operatie wordt toegepast. 
De reeks (1), die ook bij Pincherle voorkomt, is voor de operatie- 
rekening, wat de reeks van Maclaurin is voor de funksieteorie. 
Wij zullen nu een transmutatie, in zeker punt x .= x 0 van het 
komplekse vlak, volledig noemen, als er om x 0 als middelpunt een 
sirkel met straal q is aan te geven, zodanig, dat iedere funksie die 
binnen en op de omtrek van die sirkel regulier is, een getrans- 
muteerde heeft die in ’t punt ,r 0 door een reeks van de vorm (1) 
bepaald wordt. 1 ) We zullen in ’t vervolg van een funksie die binnen 
en op de omirek van zekere sirkel regulier is, zeggen dat hij ,,tot 
die sirkel behoort” (naar Pincherle); zijn konvergentiestraal is dan 
groter dan de straal q van die sirkel. Verder zullen we, als we 
spreken van het gebied (r), daarmee bedoelen de gesloten verzame- 
ling van punten binnen en op een sirkel met middelpunt x 0 en 
straal r; deze sirkel zullen we ook kortweg als de sirkel [r) aan- 
duiden, en, als we een sirkel met een ander middelpunt dan x 0 be- 
doelen, zullen we dit er ekspres bij zeggen. 
Ten opzichte van de zo gedefinieerde volledige transmutatie spreekt 
Bourlet zijn teorema XI uit, dat we hier laten volgen : 
La condition nécessaire et s af fis ante pour qae la transmutation (1) 
fournisse une transmuèe pour toute fonction réguliere dans un domaine 
de rayon p autour du po int x 0 , est que la série 
tf; (« 0 , z) — a Q 
(®o) + 
a i ( x o) 
z — ' x 0 
+ 
(A) 
soit convergente pour toute valeur de z telle que \ z — x 0 \ = o. 
Dat deze voorwaarde noodzakelik is, toont Bourlet aan door de 
transmutatie (1) op de funksie 
1 
— (B) 
4 Bourlet zegt eigenlik: „Compléte dans un domaine de rayon g’. Deze zegs- 
wijze kan aanleiding geven tot het misverstand, als zou bedoeld zijn dat er in 
’t hele gebied (Q) een getransmuteerde bestaat, wat in ’t algemeen niet waar is. 
Uit de redenering waardoor Bourlet tot zijn zo aanstonds te vermelden teorema 
XI komt, blijkt trouwens ook niet meer dan dat er, onder de daar genoemde 
voorwaarden, in het enkele punt x 0 een getransmuteerde bestaat. Ik heb er daarom 
de voorkeur aan gegeven, te zeggen „volledig in een punt de naam „volledig 
in een gebied ” bewaar ik voor een ander geval (zie M°. 4), 
