366 
in het middelpunt x 0 van die sirkel een getransmuteerde opleveren, 
dan is het nodig en voldoende dat de reeks 
aAxë) clAxA 
ip (x 0 , t) = a 0 (x 0 ) + ^ 
(3) 
konvergeert voor iedere reële pozitieve waarde van t groter dan o. 
Alvorens tot het eigenlike bewijs over te gaan, merken we het 
volgende op : Uit de machtreeksvorm die (3), ten aanzien van — 
heeft, valt af te leiden dat, zo hij konvergeert voor zekere waarde 
van t, hij absoluut konvergeert voor iedere andere waarde met 
grotere modulus, en, zo hij divergeert voor zekere waarde van t, hij 
divergeert voor iedere andere waarde met kleinere modulus. Dit in 
’t oog houdende kunnen we de noodzakelikheid en voldoendheid 
van de voorwaarde aldus aantonen : 
1°. De voorwaarde is noodzakelik. Stel nl. dat hij niet vervuld 
was voor zekere waarde t — j> q, dus dat de reeks 
«lUo 
a o M + 
* ■+■■••• 
Q i 
(4) 
divergeerde. Kies dan een getal q 2 , zodanig dat 
Q Pl » 
en een funksie 
1 
u 
*^0 + ^2 X 
die blijkbaar tot (q) behoort. De reeks (1) levert hiervoor, in het 
punt x 0 , 
rri 
1 u = 
1 
9» 
a o { x o) + 
a i( x o) 
a, 
t («o) 
92 
+ + * • 
welke reeks echter, volgens de vooraf gemaakte opmerking, divergeert, 
omdat (4) het doet. M.a.w. is de in de stelling genoemde voorwaarde 
niet vervuld, dan levert de reeks (1) niet voor alle funksies die tot 
v p) behoren, een getrans muteerde in het punt x 0 : de voorwaarde is 
dus noodzakelik. 
2°. De voorwaarde is voldoende. Beschouw een funksie u met een 
konvergentiestraal r > q. Kies een getal zodanig dat 
Q < Qi < r • 
Is nu de voorwaarde vervuld, dan is daaruit, in verband met de 
vooraf gemaakte opmerking, vooreerst af te leiden dat de reeks (3) 
absoluut konvergeert voor iedere waarde van t met een modulus 
groter dan q, dus o.a. voor t = Hetzelfde geldt dus van de reeks 
' x_ XX, a x( X o) . « 2 ( A ’o) 
X ( A o’ z ) — a o M "4 b 
-x„ 
(z -x ü y 
-t 
