367 
voor iedere waarde van z waarvoor \z — tf 0 | = p’. Bovendien kon- 
vergeert de laatste reeks, beschouwd als funksie van z, uniform op 
de sirkel, bepaald door 
2 = ‘ v o 4- (?! 4 ; 
immers de moduli van zijn termen zijn overal op die sirkel gelijk 
aan die van de overeenkomstige, van 2 onafhankelike termen in de 
absoluut konvergente reeks 
«o (*o) + 1 „ 4 
Hieruit kan men, volgens een bekende gedachtegang, de bedoelde 
uniformiteit afleiden. 
De integraal 
x («#> z ) dz * 
genomen langs de omtrek van (pj, bestaat dus, en kan door inte- 
gratie term voor term gevonden worden. Dan komt er echter de 
reeks (1) uit, die dus, voor de beschouwde funksie, in het punt 
x 0 konvergeert. De voorwaarde is dus voldoende. *) 
3. We merken ten aanzien van de stelling nog het volgende op. 
Blijkbaar zal er voor de getallen p een benedenste grens a zijn, 
zodanig dat konvergentie van (3) plaats vindt voor iedere t met 
modulus groter dan a, en divergentie voor iedere t met modulus 
kleiner dan a ; ook dit volgt uit de machtreeksvorm. Tevens is 
hieruit op de bekende manier af te leiden dat de getallen a m (x 0 ) 
voldoen aan de volgende twee voorwaarden : 
1°. Bij ieder gegeven willekeurig klein getal e is er een geheel 
getal me, zodanig dat 
\a m (x 0 )j <f(a + e) m , voor m > m s . 
2°. Bij ieder gegeven willekeurig klein getal e behoren oneindig 
veel rangnummers m, waarvoor 
|M*o)l X" —*)”*• 
Omgekeerd zijn deze beide voorwaarden nodig en voldoende om 
het getal a te kenschetsen als de bovenbedoelde benedenste grens. 
We kunnen, naar een bekend spraakgebruik, ook zeggen dat a is 
i 
de bovenste limiet, voor m = co, van de uitdrukking | a m [xf m , 
geschreven 
b Zie de opmerking in de noot 1 van n°. 4 over dit bewijs. 
