368 
l 1 ) 
a= lim \a m (.v 0 )\ m (5) 
m = co 
Het teorema van Bourlbt kan nu ook zó worden uitgesproken : 
Zal de reeks (1) in een gegeven gunt x 0 een getransmuteerde ople- 
veren voor alle funksies die behoren tot zeker gebied (o) met middel- 
punt x 0 , dan is het nodig en voldoende dat p niet kleiner is dan het 
door (o) bepaalde getal a. 
De sirkel ia) is dus de minimum sirkel, met middelpunt x 0 , 
waarvan geldt dat de reeks (1) voor alle funksies die er toe behoren, 
een getransmuteerde in x 0 oplevert ; ook deze uitspraak is gel ij k- 
waardig met het teorema van Boürlet. Men moet echter niet menen 
dat een reeks van de vorm (1) nooit , voor de een of andere funksie 
met een konvergentiestraal kleiner dan a, een getransmuteerde in 
x 0 oplevert. Zij bv. 
«o (x) = a 2 (D = . . . — a-2k (v) — . . . = 0, 
en 
U2k-1 (D = C 2k ~f 
waarin met c een konstante bedoeld wordt groter dan 1. Hier is 
het getal a gelijk aan c, dus volgens de onderstelling groter dan 1. 
De funksie 
1 
waarvan in de omgeving van liet punt x — 0 de konvergentiestraal 
gelijk i is. heeft, al is deze straal kleiner dan het getal a, in dat 
punt een getransmuteerde; deze is n.1. gelijk aan nul. 
4. Het teorema van Boürlet leert ons iets omtrent de vraag, 
wanneer de reeks (1) volledig is in één bepaald punt x 0 , maar uit 
de aard van de zaak zullen alleen die gevallen interessant zijn 
waarin er een zekere sirkel (p) rondom x 0 is aan te wijzen, zodanig 
dat de reeks (1), voor alle funksies die daartoe behoren, een ge- 
transmuteerde oplevert niet alleen in het punt x 0 , maar in alle 
punten van zeker gebied («) rondom x 0 . Hierop is door Bourlet niet 
de aandacht gevestigd. Voldoet de reeks (1) aan deze eis, dan zullen 
we de transmutatie die er door bepaald wordt volledig in het gebied 
(«) noemen. 
Laten we onderstellen dat er voor ieder punt van een gebied (a) 
een getal a, als bovenbedoeld, is aan te geven, en daarbij aannemen 
dat het getal nn, waarvan in de voorwaarde 1° in ’t begin van N°. 3 
sprake is, in het hele gebied («) beneden een vast getal blijft, dat 
: { 
Ó Ene. d. Math Wiss. I A. 3, p. 71 
