369 
we in ’t vervolg ook maar door m s willen aanduiden. Omdat het 
getal a in ’t algemeen van de plaats van liet punt x zal afhangen, 
stellen we het liever voor door a x . Volgens deze onderstelling heeft 
dus de uitdrukking 
a x = iim j a m (./;) \™ 
( 6 ) 
in alle inwendige punten en omtrekspunten van («) een eindige 
waarde en heeft er in dat gebied uniforme konvergentie naar deze 
grens plaats. Nemen we verder aan dat de grootheid a x in het hele 
gebied («) beneden een vast getal G blijft, m.a.w. dat a x een, in 
het gebied («), geborneerde funksie is van de punten van dat gebied 
(altoos inkluzief de omtrek). De getallen n r hebben dan in het gebied 
(«) een bovenste grens, die we door a («) of kortweg door a willen 
voorstellen, en we beweren nu dat de bovenste grens van de a x - 
waarden voor punten van de omtrek van («) overeenstemt met die 
voor het hele gebied («). Stel dat dit niet zo was, maar dat de 
bovenste grens van a x voor de omtrek van (n) zeker getal a' <f a 
was. Volgens de gemaakte onderstelling zouden dan de waarden die 
een willekeurige funksie a m (x), met rangnummer m > m t , op de 
omtrek van (a) aanneemt, alle een modulus hebben kleiner dan 
(a' -f- s) m . 
We denken nu voor e een zo klein getal genomen dat 
d -j- 8 <f a. 
Dan geldt tevens dat oneindig veel funksies a, n (x) voldoen aan 
de voorwaarde dat, in zeker punt van het gebied («), 
a,n (a?) I (a' &) rn . 
Onder deze, oneindig vele, funksies kiezen we er een uit met een 
rangnummer m j> m s . Maar deze zelfde funksie voldoet op de omtrek 
van («) aan de voorwaarde 
Om G) | < («' + 0 m • 
Aangezien nu de maksim, ummoAnlos van een funksie, in een gebied 
(«) dat binnen het regulariteitsgebied ligt, gevonden wordt op de 
omtrek van («), zijn de vorige twee ongelijkheden met elkaar in 
strijd, en is het gevraagde aangetoond. 
Voldoen nu de funksies a in (x) aan de hierboven genoemde voor- 
waarden, dan is de transmutatie, door de reeks (1) bepaald, volledig 
in het gebied («), zoals de volgende veralgemening van het teorema 
van Bourlet leert : 
Zal de reeks ( I ) in ieder gunt van een gegeven sirkelvormig 
(«) een getransmuteerde opleveren, voor alle funksies die tot een met 
(«) konsentries gebied (o) behoren, dan is ’t nodig en voldoende dat de 
