370 
straal (q) niet kleiner is dan het getal g> bepaald door de gelijkheid 
g — a -j- (7) 
of' gelijkwaardig hiermee : 
De sirkel (/i) is de minimumsirkel met de eigenschap dat de 
reeks (1), voor alle funksies die er toe behoren, een getransmuteerde 
in ieder punt van de gegeven sirkel («) oplevert. 
Bewijs 1°. De voorwaarde, in liet teorema genoemd, is noodzakelik. 
Stel, om dit aan te tonen, dat p kleiner is dan /?, dan hebben 
we maar een funksie aan te geven die tot (p) behoort en waarvoor 
de reeks (1), in zeker punt van («), geen getransmuteerde oplevert. 
Kies een getal r zodanig dat 
Q < r < ft 
en beschouw de funksie 
1 
u = , 
x 0 -(- re 1 y — x 
waarin y een ogenblik onbepaald blijft; deze funksie heeft de 
konvergentiestraal r en behoort dus tot (p). Aangezien a de bovenste 
grens is van de getallen a x , voor 't gebied («), is er een punt P, 
op de omtrek van («), waarvoor a x groter is dan a — (f? — r), of, 
volgens (7), dan r- — a; stel 
a x — r — a - f- d. 
Dan zijn er oneindig veel m-waarden waarvoor, bij gegeven 
s <j ó, in het punt P 
| Om (*)| j> \r — a -f s) m . 
Is (p het argument van x — x 0 voor het punt P, dan kiezen we 
y — </>, en hebben nu in datzelfde punt 
e— { ? mO) e~ im ? 
Voor de bovengenoemde m-waarden is dus, in het punt P, 
a rn (.r) u 
ml 
en aangezien deze m-waarden oneindig in aantal zijn, is in dit geval 
bij de reeks (1) niet voldaan aan de voor konvergentie noodzakelike 
voorwaarde, dat de termen nul tot limiet hebben ; de reeks divergeert 
dus in het punt P. 
2°. De voorwaarde is voldoende. Omdat namelik, in een wille- 
keurig punt x van het gebied («), de grootheid a x niet groter is 
dan [3 — a, is er bij ieder gegeven willekeurig klein getal e een 
geheel getal m s , zodanig dat, in ’t punt x, 
I a m ( A ‘) | <C {ft — « + D m ) v OOr m > m E . 
Behoort verder de funksie u tot (/ij, dan behoort hij ook tot een 
