371 
iets grotere sirkel (p); stel 
9 — P + d, (d > 0). 
Zij Ji (9) de maksimummodulus van u op de omtrek van (p) ; uit 
de fimksieteorie is bekend dat in het hele gebied a voldaan is aan 
de voorwaarde 
I . pd/(p) 
< 
m! \ " (p — 1 
Dus is in het punt x, voor rn > m t 
a m u( m ) 
(8) 
rn: 
r 
9 J % ) « + £ V 
/? — «-pet p/J — cc-j-dj 
Denken we ons nu dat voor e een getal kleiner dan ef gekozen 
is, dan geldt voor de rest Rj £ (x) van de reeks (1), afgebroken bij 
m — k — 1, en mits k > m s , 
q m (q) ffi— 
\Rk(*)\< 
( 9 ) 
d— e ' V/5— «-Pdy 
Het bedrag rechts van het ongelijkteken heeft, voor k = 00, nul 
tot limiet, waarmee de konvergentie van de reeks is aangetoond, 
en tevens, omdat het bedoelde bedrag onafhankelik is van x, dat 
deze konvergentie uniform is. *) 
5 . Ook hier moet men niet menen dat een reeks van de vorm ( 1 ) 
nooit, voor een of andere funksie die niet tot (£) behoort, een getrans- 
muteerde in het hele gebied («) oplevert. Beschouw bv. de trans- 
mutatie 
(1 — c — x) m 
m! 
1 
waarin ceen positieve konstante is kleiner dan 1. Hier is a x — '1 — c — x\ ; 
de bovenste grens van n x op de omtrek van de sirkel («) met de 
oorsprong tot middelpunt, is dus 1 - — c -f- «, en dit is tevens de 
bovenste grens voor het gebied («). Dus is 
g = 1 — c — 2 a . 
Neem nu voor u de funksie 
i) De ongelijkheid (8) kan men beter ook al gebruiken, om het teorema van 
Bourlet, zoals dat voor éen enkel punt luidt, te bewijzen, aangezien men dan 
de reeks (1) niet eerst uit een integraal hoeft af te leiden. Wij hebben dan ook, 
bij onze korreksie van het oorspronkelik teorema en bewijs, in n () . 2, alleen daarom 
de redenering met de integraal behouden, om in aansluiting te blijven met de 
gedachtegang van de schrijver, waardoor een gemakkeliker beoordeeling van de ver- 
schilpunten mogelik wordt. 
