373 
daar de reeks die het eerste lid van deze ongelijkheid voorstelt, uit 
een gedeelte van de termen beslaat van de reeks waarin het laatste 
lid ontwikkeld kan worden. 
Is algemeen 
,xh-\-k 
y = 
i 
- X 
dan heeft men voor reële pozitieve x 
y{k) 
k! ^ (1 
x' 1 (A-f k)! *) 
- h! k! 
In ons geval vinden we, door h = k — m te stellen, 
u\ 
m! 
< 
§ 
1 — 1 
(2 m)J 1 
(ml) 2 1 — ( 
altoos voor m — 2 2n—1 . Met behulp van de formule van Stiri.ing: 
e. 
Je! = Jch * |/2 dxk (0 < 6 < 1) 
kunnen we hiervoor ook schrijven 
u! n) (x) 
zodat 
a, 
in! 
u (m ) 
< 
ml 
< 
4§ 
.1 %) (1 — ^)\d jrm 
4 4 
.1 — èj / jrm 
De laatste ongelijkheid geldt voor iedere m, omdat voor de waarden 
van in die riet gelijk zijn aan een oneven macht van 2, a m (x) = 0 
is. De termen van de reeks (1) zullen dus, in absolute waarde, 
kleiner zijn dan die van een afdalende meetkundige reeks, als 
4cg<l-g, of §< 
14- 4c 
en die reeks zal dus in ’t hele gebied («) konvergeren, als 
1 
a <4 . 
^ 14- 4c 
Daar hier $ — a 4~ c is, zal /? groter zijn dan de konvergentie- 
straal 1 van de beschouwde funksie, als 
« ^> 1 — c 
De voorgaande twee ongelijkheden kunnen vervuld worden voor 
’) Met behulp van de formule van Leibniz vindt men nl. 
(h-\-k)! x? 1 
1 
-x) 
1 
\7 
Je! 
, k-i 
i! (A -\-k — i)l vl — x 
en omdat (h-\-k — i)! > h! (Je — i)!, is het rechterlid kleiner dan 
(7i4-A)/ x h f Je\ f x \tc—i (Jt-]~h)! x /l 
h! ( 1 — x) 
'Je 
X ■ x 
4/(1 — x )^ 1 
