374 
een aantal waarden van a, als het getal c groter dan f- gekozen 
wordt. In ieder gebied («) dat voldoet aan de ongelijkheid 
1 1 
1 — c < « < — — < — 
^ ^ 1 -f 4c 4 
levert dus de reeks (1) een getransmuteerde voor de funksie (11), 
terwijl toch het korresponderende gebied (/?) een straal heeft groter 
dan de konvergentiestraal van die funksie ; dit, hoewel het punt, 
waar, in ’t gebied («), die funksie zijn maksiraummodulus heeft, 
samenvalt met een punt waar de grootheid a x zijn bovenste grens- 
waarde bereikt. 
6. We willen nog iets zeggen over de afhankelikheid tussen de 
grootheden a en j. Het getal « kan variëren van nul af tot een 
bedrag A, dat de bovenste grens is van de stralen van gebieden, 
waarin de grootheid a x , bepaald door (6), een geborneerde funksie 
is. Het getal A zal in geen geval groter kunnen zijn dan de kon- 
vergentiestraal van een van de funksies a m (x), maar het kan heel 
goed kleiner uitvallen, omdat, al zijn al die funksies in zeker gebied 
(«) regulier, het best mogelik is dat de bovenste limiet (6) in een 
of ander punt van («) geen eindige waarde heeft ; ook zou het kun- 
nen voorkomen dat die limiet wèl in alle punten van («) bestond, 
maar in dat gebied niet geborneerd was. Daartegenover kan het ook 
gebeuren dat het getal A oneindig groot is (bv, als a m (x) — konstant = c m ). 
Uit het feit dat de grootheid a gedefinieerd is als de bovenste 
grens van de funksie a x in het gebied («), volgt onmiddellik dat a 
bij toename van a niet kan afnemen, anders gezegd, dat a een 
monotone funksie is van a. Dus is, volgens (7), d een monotoon 
toenemende funksie van «, die niet kleiner is dan a. (ft kan gelijk 
aan « zijn, bv. voor a m (x) = 1 : m !, want dan is a x = konstant = 0). 
Zij b de waarde van ft voor « = 0, en B die voor a = A ; in 
vele gevallen zal B oneindig groot zijn, maar het hoéft niet. 
Alle waarden die kan aannemen, liggen, omdat een monotoon 
toenemende funksie is van a, in het interval ib, B), en behoren bij 
slechts éen waarde van a. Het getal b, dat, als ^-waarde, bij a — 0 
behoort, kan nul zijn, nl. als a Xo — 0 is. In dat geval heeft iedere 
funksie waarvoor x 0 een gewoon punt is, al is het regulariteitsgebied 
rondom dat punt ook nog zo klein, in x 0 een door (1) bepaalde 
getransmuteerde. Is daarbij a, als funksie van a, kontinu in « = 0, 
dan levert de reeks (1) voor iedere funksie, al is het konvergentie- 
gebied daarvan nog zo klein, een getransmuteerde in zeker gebied 
rondom x 0 op. De transmu terende reeks is dan, volgens een door 
Pinch erle ingevoerde benaming, van de eerste soort. 
