Als men dit teorema en het bewijs dat Bourlet er van geeft, op 
de keper beschouwt, dan blijkt de bedoeling er van niet zo heel 
duidelik te zijn, en dat ligt daaraan dat Bourlet verzuimd heeft, 
een funksioneel en een numeriek veld vast te stellen, waarin men 
zich de transmutatie gedefinieerd moet denken. Moet men zich 
voorstellen dat de transmutatie voor iedere funksie die in de om- 
geving van zeker punt regulier is, een ge trans muteerde oplevert die 
in de omgeving van datzelfde punt regulier is? Zijn er punten die 
hierop een uitzondering maken? Of funksies, waarmee dit het geval 
is? Moet men zich als objekt van de transmutatie alleen analitiese 
funksies denken? Of ook zulke die in zeker N.V. samenvallen met 
de analitiese funksie f x [x], en in een ander daarbuiten liggend N. V. 
met de analitiese funksie f. 2 [x) ? Is d e getransm u teerd e een anali- 
tiese funksie? 
Men komt hier idet goed achter, want de definities die Bourlet 
geeft, zijn allemaal hoogst onvolledig. Met een reguliere transmutatie 
bedoelt hij, volgens zijn eigen zeggen, een transmutatie die een 
reguliere funksie doet overgaan in een eveneens reguliere funksie. 
Maar wat is een reguliere funksie? In een noot geeft Bourlet het 
antwoord: Je prends pour définition de la fonction réguliere celle 
de M.M. Méhay, Weierstrass, Fuchs, etc.: ,,Une fonction de la 
variable x est d i te réguliere, dans le domaine de rayon p, autour 
du point x = x g , si elle est développable en une série ordonnée 
suivant les puissances croissantes de x — x g , pour toute valeur 
de x telle que 1’on ait | x— x 0 | p”. Jawel, nu is duidelik 
wat er onder verstaan wordt, wanneer men zegt: een funksie 
is regulier in een gebied met straal o. Maar nu weet ik nog 
ui t, wanneer ik een funksie zonder meer regulier moet noemen. 
Men kan niet aannemen dat hiermee bedoeld zou zijn een funksie 
die in de omgeving van ieder punt regulier is, want dan zou een 
1 
eenvoudige funksie zoals u = nooit objekt van de transmutatie 
i — x 
kunnen zijn, en dat is stellig niet bedoeld. Men moet dus uitzonde- 
ringspunten toelaten. Maar hoeveel en hoedanig verspreid? Een 
funksie die binnen zekere sirkel gelijk aan 1, daarbuiten gelijk aan 
2, en op de omtrek onbepaald is, is dat een reguliere funksie? Enz. 
Al deze en dergelijke vragen heeft Bourlet ontgaan door in de 
definitie die hij van een reguliere funksie zonder meer zal geven, in 
eens de woorden dans un domaine de rayon p toe te voegen. Men 
kan echter gerust aannemen dat Bourlet, als hij sprak over een 
reguliere funksie zonder meer, bewust of onbewust voortdurend 
gedacht heeft aan een bepaald gebied, waarin de funksie in kwestie 
